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弦切角
1、教材分析
�。�1）知識(shí)結(jié)構(gòu)
�。�2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：弦切角定理是本節(jié)的重點(diǎn)也是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它在證明角相等、線段相等、線段成比例等問題時(shí)，有重要的作用；它與圓心角和圓周角以及直線形角的性質(zhì)構(gòu)成了完美的角的體系，屬于工具知識(shí)之一．
難點(diǎn)：弦切角定理的證明．因?yàn)樵谧C明過程中包含了由“一般到特殊”的數(shù)學(xué)思想方法和完全歸納法的數(shù)學(xué)思想，雖然在圓周角定理的證明中應(yīng)用過，但對(duì)學(xué)生來說是生疏的，因此它是教學(xué)中的難點(diǎn)．
2、教學(xué)建議
（1）教師在教學(xué)過程中，主要是設(shè)置學(xué)習(xí)情境，組織或引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、研究問題和歸納結(jié)論，應(yīng)用知識(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力；在學(xué)生主體參與的學(xué)習(xí)過程中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，并獲得新知識(shí)；
�。�2）學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意：（Ⅰ）弦切角的識(shí)別由三要素構(gòu)成：①頂點(diǎn)為切點(diǎn)，②一邊為切線，③一邊為過切點(diǎn)的弦；（Ⅱ）在使用弦切角定理時(shí)，首先要根據(jù)圖形準(zhǔn)確找到弦切角和它們所夾弧上的圓周角；（Ⅲ）要注意弦切角定理的證明，體現(xiàn)了從特殊到一般的證明思路．
教學(xué)目標(biāo)：
1、理解弦切角的概念；
2、掌握弦切角定理及推論，并會(huì)運(yùn)用它們解決有關(guān)問題；
3、進(jìn)一步理解化歸和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法以及完全歸納的證明方法．
教學(xué)重點(diǎn)：弦切角定理及其應(yīng)用是重點(diǎn)．
教學(xué)難點(diǎn)：弦切角定理的證明是難點(diǎn)．
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：
（一）創(chuàng)設(shè)情境，以舊探新
1、復(fù)習(xí)：什么樣的角是圓周角?
2、弦切角的概念：
電腦顯示：圓周角∠CAB，讓射線AC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生無數(shù)個(gè)圓周角，當(dāng)AC繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)至與圓相切時(shí)，得∠BAE．
引導(dǎo)學(xué)生共同觀察、分析∠BAE的特點(diǎn)：
(1)頂點(diǎn)在圓周上； (2)一邊與圓相交； (3)一邊與圓相切．
弦切角的定義：
頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。
3、用反例圖形剖析定義，揭示概念本質(zhì)屬性：
判斷下列各圖形中的角是不是弦切角，并說明理由：
以下各圖中的角都不是弦切角．
圖(1)中，缺少“頂點(diǎn)在圓上”的條件；
圖(2)中，缺少“一邊和圓相交”的條件；
圖(3)中，缺少“一邊和圓相切”的條件；
圖(4)中，缺少“頂點(diǎn)在圓上”和“一邊和圓相切”兩個(gè)條件．
通過以上分析，使全體學(xué)生明確：弦切角定義中的三個(gè)條件缺一不可。
（二）觀察、猜想
1、觀察：（電腦動(dòng)畫，使C點(diǎn)變動(dòng)）
觀察∠P與∠BAC的關(guān)系．
2、猜想：∠P=∠BAC
�。ㄈ╊惐嚷�(lián)想、論證
1、首先讓學(xué)生回憶聯(lián)想：
(1)圓周角定理的證明采用了什么方法?
(2)既然弦切角可由圓周角演變而來，那么上述猜想是否可用類似的方法來證明呢?
2、分類：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，當(dāng)固定切線，讓過切點(diǎn)的弦運(yùn)動(dòng)，可發(fā)現(xiàn)一個(gè)圓的弦切角有無數(shù)個(gè)．
如圖．由此發(fā)現(xiàn)，弦切角可分為三類：
(1)圓心在角的外部；
(2)圓心在角的一邊上；
(3)圓心在角的內(nèi)部．
3、遷移圓周角定理的證明方法
先證明了特殊情況，在考慮圓心在弦切角的外部和內(nèi)部?jī)煞N情況．
組織學(xué)生討論：怎樣將一般情況的證明轉(zhuǎn)化為特殊情況．
如圖 (1)，圓心O在∠CAB外，作⊙O的直徑AQ，連結(jié)PQ，則∠BAC＝∠BAQ-∠l＝∠APQ-∠2＝∠APC．
如圖 (2)，圓心O在∠CAB內(nèi)，作⊙O的直徑AQ．連結(jié)PQ，則∠BAC＝∠QAB十∠1＝∠QPA十∠2＝∠APC，
（在此基礎(chǔ)上，給出證明，寫出完整的證明過程)
回顧證明方法：將情形圖都化歸至情形圖1，利用角的合成、對(duì)三種情況進(jìn)行完 全歸納、從而證明了上述猜想是正確的，得：
弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角．
4．深化結(jié)論．
練習(xí)1 直線AB和圓相切于點(diǎn)P，PC，PD為弦，指出圖中所有的弦切角以及它們所夾的�。�
練習(xí)2 如圖，DE切⊙O于A，AB，AC是⊙O 的弦，若＝，那么∠DAB和∠EAC是否相等?為什么?
分析：由于 和 分別是兩個(gè)弦切角∠OAB和∠EAC所夾的弧．而 ＝ ．連結(jié)B，C，易證∠B＝∠C．于是得到∠DAB＝∠EAC．
由此得出：
推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等．
（四）應(yīng)用
例1如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線CE和⊙O 切于點(diǎn)C，AD⊥CE，垂足為D
求證：AC平分∠BAD．
思路一：要證∠BAC＝∠CAD，可證這兩角所在的直角三角形相似，于是連結(jié)BC，得Rt△ACB，只需證∠ACD＝∠B．
證明：(學(xué)生板書)
組織學(xué)生積極思考．可否用前邊學(xué)過的知識(shí)證明此題?由學(xué)生回答，教師小結(jié)．
思路二，連結(jié)OC，由切線性質(zhì)，可得OC∥AD，于是有∠l＝∠3，又由于∠1＝∠2，可證得結(jié)論。
思路三，過C作CF⊥AB，交⊙O于P，連結(jié)AF．由垂徑定理可知∠1＝∠3，又根據(jù)弦切角定理有∠2＝∠1，于是∠2=∠3，進(jìn)而可證明結(jié)論成立．
練習(xí)題
1、如圖，AB為⊙O的直徑，直線EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，則∠ECA＝______度．
2、AB切⊙O于A點(diǎn)，圓周被AC所分成的優(yōu)弧與劣弧之比為3:1，則夾劣弧的弦切角∠BAC＝________
3、如圖，經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)T的切線和弦AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)C．
求證：∠ATC＝∠TBC．
(此題為課本的練習(xí)題，證明方法較多，組織學(xué)生討論，歸納證法．)
�。ㄎ澹w納小結(jié)
教師組織學(xué)生歸納：
(1)這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)的知識(shí)；
(2)在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)用哪些重要的數(shù)學(xué)思想方法？
（六）作業(yè)：教材P13l習(xí)題7．4A組l(2)，5，6，7題．
探究活動(dòng)
一個(gè)角的頂點(diǎn)在圓上，它的度數(shù)等于它所夾的弧對(duì)的圓周角的度數(shù)，試探討該角是否圓周角？若不是，請(qǐng)舉出反例；若是圓周角，請(qǐng)給出證明．
提示：是圓周角（它是弦切角定理的逆命題）．分三種情況證明（證明略）．