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下學(xué)期 4.11 已知三角函數(shù)值求角2

時(shí)間：2022-08-17 03:34:43 高一數(shù)學(xué)教案我要投稿

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（第二課時(shí)）

一．教學(xué)目標(biāo)

　　1．掌握已知一角的正切值，求角的方法．

　　2．掌握給定區(qū)間內(nèi)，用反三角函數(shù)表示一個(gè)角的方法．

二．教學(xué)具準(zhǔn)備

　　投影儀

三．教學(xué)過(guò)程

　　1．設(shè)置情境

　　師：請(qǐng)同學(xué)們看投影，回答問(wèn)題

　　（1）若，，則．

　�。�2）若，則．

　　生：（1）或．

　�。�2）或．

　　師：回答正確．請(qǐng)同學(xué)結(jié)合上面兩個(gè)小題的求解過(guò)程，總結(jié)一下已知三角函數(shù)值求角的一般步驟：

　　生：從上面兩個(gè)小題的求解過(guò)程看，有三個(gè)步驟：

　　第一步，決定角可能是第幾象限角．

　　第二步，如果函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對(duì)應(yīng)的銳角；如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則先求了與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角；

　　第三步，如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則根據(jù)角可能是第幾象限角，得出內(nèi)對(duì)應(yīng)的角—如果它是第二象限角，那么可表示為，如果它是第三或第四象限角，那么可表示為或．

　　師：總結(jié)得很好，本節(jié)課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)用反正切表示角的方法，先請(qǐng)同學(xué)看問(wèn)題（投影儀）：

　　2．探索研究（此部分可由學(xué)生仿照正弦、余弦分析解決）

　　【例1】（1）已知，且，求（精確到）．

　�。�2）已知，且，求的取值集合．

　　解：（1）由正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上是增函數(shù)和可知，符合條件的角有且只有一個(gè)，利用計(jì)算器可得（或）．

　　（2）由正切函數(shù)的周期性，可知時(shí)，，所以所求的的集合是．

　　下面討論反正切概念，請(qǐng)看圖形（圖1）（投影儀）：

　　觀察正切函數(shù)的圖像的性質(zhì)，為了使符合條件（為任意實(shí)數(shù)）的角有且只有一個(gè)，我們選擇開(kāi)區(qū)間作基本的范圍，在這個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)，符合條件（為任意實(shí)數(shù)）的角，叫做實(shí)數(shù) 反正切，記作，即，其中，且，那么，此例第（2）小題的答案可以寫(xiě)成．

　　表示的意義：表示一個(gè)角，角的特點(diǎn)是①角的正切值為x，因此角的大小受x的限制；②并不是所有滿(mǎn)足的角都可以，只能是范圍內(nèi)滿(mǎn)足的角；③由于x為角的正切值，所以x的值可為全體實(shí)數(shù)．

　　【例2】（1）已知，且，求．

　�。�2）已知，且，求的取值集合．

　　解：（1）因?yàn)?，所以．由正切函數(shù)在開(kāi)區(qū)間上是增函數(shù)可知符合條件的角有且只有一個(gè)，所以．

　�。�2）由正切函數(shù)的周期性，可知當(dāng) 時(shí)，．

　　∴所求的取值集合是．

參考例題（供層次高的學(xué)生使用）：

　　1．求值．

　　解：根據(jù)誘導(dǎo)公式，且，

　　∴ ．

　　評(píng)法：由于反正弦表示內(nèi)的一個(gè)角，而，所以應(yīng)先用誘導(dǎo)公式將其轉(zhuǎn)化為區(qū)間內(nèi)的角，再進(jìn)行計(jì)算．

　　2．求的值．