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數(shù)形如何巧結(jié)合
數(shù)形如何巧結(jié)合
江蘇南京曉莊學(xué)院 章秋明
論文摘要：數(shù)形結(jié)合是一補(bǔ)重要的教學(xué)思想方法。在小學(xué)教學(xué)中，它主要表現(xiàn)在把抽象的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，從圖開的直觀特征發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系，以達(dá)到化難來(lái)易、化繁為簡(jiǎn)、化隱為顯的目的，使問(wèn)題簡(jiǎn)捷地得以解決。通常是將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段圖，這是基本的、自然的手段。對(duì)于某些題，如線段圖不能清晰地顯示其數(shù)量關(guān)系，則可以通過(guò)對(duì)線段圖的分析、改造、設(shè)計(jì)、構(gòu)造出能清晰顯示其數(shù)量關(guān)系的幾何圖形。本文通過(guò)兩個(gè)具體的例子揭示了分析、改造的方法。
論文關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合、線段圖、幾何圖形
論文正文：數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的、重要的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)即通過(guò)數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化，把抽象的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)理想化抽象的方法，轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膸缀螆D形，從圖形的結(jié)構(gòu)直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，解決數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這是其一。其二，或者把關(guān)于幾何圖形的問(wèn)題，用數(shù)量或方程等表示，從它們的結(jié)構(gòu)研究幾何圖形的性質(zhì)與特征。
在小學(xué)數(shù)學(xué)中，用得最多的是前者，而且在應(yīng)用題的分析求解中，通常是將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成線段圖。然而，這并不是唯一的方式。實(shí)際上，在不同的問(wèn)題中，可將數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不同的圖形。其中有一個(gè)原則：能把數(shù)量關(guān)系最清晰、最直接地顯示出來(lái)的圖形，是我們最佳的選擇。
例1 一色糖果平均分給三個(gè)小朋友，如果每人吃掉4塊，那么三人剩下的糖塊數(shù)之和恰好是原糖果數(shù)的1/3，原糖果有多少塊？
分析與解：如用線段圖表示數(shù)量關(guān)系，則如下圖所示，其中帶斜線的線段表示每人吃掉的糖塊數(shù)：
由于題目給出的是三人剩下的糖塊數(shù)之和，與原糖果數(shù)的關(guān)系，在以上線段圖中，三人剩下的糖塊數(shù)是三條未帶斜線且各自分離的線段，較難發(fā)現(xiàn)三條帶斜線的線段長(zhǎng)的和與整條線段長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系，因此這不是最佳的選擇圖形。
我們希望選擇的圖形能夠一目了然地看出“三人剩下的糖塊數(shù)之和恰好是糖果數(shù)的1/3”，就是說(shuō)，能把“三人剩下的糖塊數(shù)之和”在圖形中連成一片，并且能直載了當(dāng)?shù)乜闯鏊c原糖果數(shù)之間的關(guān)系。為此，我們畫一個(gè)大圓，并且大圓的面積表示原糖塊數(shù)。把大圓三等分，每份即表示每位小朋友分得的糖塊數(shù)。在大圓中再畫一個(gè)小同心圓（小圓半徑約等于大圓半徑的０.6），用小同心圓的面積表示三人剩下的糖塊數(shù)之和，于是圓環(huán)（陰影部分）的面積則表示三人吃掉的糖塊數(shù)之和。如右圖所示：
這樣一來(lái)，數(shù)量關(guān)系完全明朗清晰了。
答：原有糖果18塊。
例2 大球、小球共100個(gè)，取出大球的75%，取出小球的一半，還剩30個(gè)球，大球、小球各有幾個(gè)？
分析與解：如用兩條獨(dú)立的線段長(zhǎng)分別表示大球、小球的個(gè)數(shù)，用帶斜線的長(zhǎng)表示取出的球數(shù)，則可畫出下圖：
由于題目給出的條件是兩種球分別取出后剩下30個(gè)，這是一個(gè)和數(shù)，反映在線段圖中應(yīng)該是以上兩條線段中不帶斜線的兩部分線段長(zhǎng)之和。于是想到把以上兩條獨(dú)立的線段拼接在一起的辦法，并讓不帶斜線的線段相鄰。
如果再想到也把表示小球的線段四等分，那么便容易解出原題。
能不能用不拼接、再等分的方法解答本題？可以。畫以下圖形：
其中，大正方形ABCD的面積表示大、小球的總個(gè)數(shù)，小正方形A′B′C′D′的面積表示小球的個(gè)數(shù)，于是，大、小正方形的面積差則表示大球的個(gè)數(shù)。另外，我們用畫有橫線陰影部分的面積表示取出的個(gè)數(shù)，用畫有豎線陰影部分的面積表示取出小球的個(gè)數(shù)。
顯然，在解答本題時(shí)如把正方形換成圓或矩形都是可以的。這種數(shù)形結(jié)合的解題方法多么簡(jiǎn)便，幾乎可以達(dá)到“圖形一畫出，解答自然出”的效果實(shí)在是巧妙。
從以上解題過(guò)程可以看出，線段圖仍是揭示小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題中數(shù)量關(guān)系的基本的、自然的手段。對(duì)于某些題，如線段圖不能清晰地顯示其數(shù)量關(guān)系，則可以通過(guò)對(duì)線段圖的分析與改造，設(shè)計(jì)構(gòu)造出能清晰地顯示其數(shù)量關(guān)系的其他圖形，使解題過(guò)程變得更簡(jiǎn)潔、更方便。
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