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淺談化歸思想方法及其在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用
淺談化歸思想方法及其在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用
摘要：在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)已是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù)，中學(xué)數(shù)學(xué)教材中蘊(yùn)涵著許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，其中化歸思想方法是最基本也是最重要的數(shù)學(xué)方法之一，化歸思想是解決數(shù)學(xué)問題的指導(dǎo)思想和一種基本策略。所以化歸思想的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。那么什么是化歸思想方法呢？運(yùn)用化歸思想方法要遵循那些問題？它的主要化歸方法有哪些？以及其在中學(xué)數(shù)學(xué)中有那些運(yùn)用呢？
關(guān)鍵詞：化歸思想方法 規(guī)范問題 基本原則 映射反演法 數(shù)形結(jié)合
Abstract :In the modern mathematics education, mathematics thinking method teaching already was the mathematics teaching primary mission, in the middle school mathematics teaching material is containing many important mathematics thinking method, in which reduction thinking method is most basic also is one of most important mathematics methods, the reduction thought was solves mathematics question guiding ideology and one kind of basic strategy.Therefore the reduction thought teaching is the mathematics teaching important content.Then what is the reduction thinking method? Must follow these questions using the reduction thinking method? Which does its main reduction method have? As well as it has these utilization in the middle school mathematics?
Key word :Reduction thinking method Standard question Basic principle Mapping method of inversion The number shape unifies
當(dāng)今社會(huì)不斷地在進(jìn)步，社會(huì)的進(jìn)步與發(fā)展是依賴科技的發(fā)達(dá)與經(jīng)濟(jì)的提高，而現(xiàn)代科技與經(jīng)濟(jì)發(fā)展成熟的標(biāo)志是數(shù)學(xué)化，這是指在科技與經(jīng)濟(jì)中需要某些具體的數(shù)學(xué)知識(shí)，但更依賴數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)已成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容。
近幾年隨著素質(zhì)教育的不斷深入，就開始認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教育應(yīng)從偏向重視知識(shí)教學(xué)向重視數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)和能力培養(yǎng)轉(zhuǎn)變。要實(shí)行數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)代化，那就要進(jìn)行數(shù)學(xué)的現(xiàn)代教學(xué)，把經(jīng)過千百年錘煉的數(shù)學(xué)精華的教育建立的數(shù)學(xué)的思想教育基礎(chǔ)之上，并使用現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法和語(yǔ)言。加強(qiáng)數(shù)學(xué)教育是當(dāng)今數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的關(guān)鍵。
數(shù)學(xué)思想方法有很多，其中化歸思想是最基本的數(shù)學(xué)思想，并且化歸思想是數(shù)學(xué)思想的兩大“主梁”之一 。要加強(qiáng)對(duì)化歸思想的教學(xué)也是加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的重要內(nèi)容。
笛卡兒認(rèn)為，任何問題都可以化歸為數(shù)學(xué)問題，這里的“化”就是“化歸”，善于使用化歸是數(shù)學(xué)思維方式中的一個(gè)重要特點(diǎn)，而化歸方法是數(shù)學(xué)方法中常用的一種方法。
化歸思想是非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，是解決一些數(shù)學(xué)問題的重要方法，對(duì)于一些數(shù)學(xué)問題，我們不能直接對(duì)問題展開攻擊，而是對(duì)問題進(jìn)行變法、轉(zhuǎn)化，直至把它化歸一些已解決問題，或容易解決的問題。
匈牙利著名的數(shù)學(xué)家P•羅莎的名著《無(wú)窮的記憶》中曾用以下的比喻十分生動(dòng)地說明了化歸思想的實(shí)質(zhì)。她寫道：“假設(shè)在你面前煤氣灶，水龍頭，水壺和火柴，現(xiàn)在的任務(wù)是燒水，你應(yīng)該怎樣做？”正確的回答是“在水壺中放上水，再點(diǎn)燃煤氣，再把水放到煤氣灶上�！苯又_莎又提出第二個(gè)問題：“假設(shè)所有的條件都不變，只是水壺已有了水，這時(shí)你應(yīng)該怎么做？”對(duì)此，人們往往回答說：“點(diǎn)燃煤氣，在把水放到煤氣灶上�！钡_莎卻認(rèn)為這不是最好的回答，因?yàn)椤爸挥形锢韺W(xué)家才會(huì)這樣做，而數(shù)學(xué)家會(huì)倒掉壺中的水，并且聲稱我已把后一問題化歸到先前的問題了，而先前的問題我已回答�！� 。“把水倒掉”——這是多么簡(jiǎn)潔的回答呀！比喻有點(diǎn)夸張，但它的確形象地說出了這種問題解決的方法就是化歸方法。
所謂的“化歸”，從字面上看可以理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思，數(shù)學(xué)方法論所論及“化歸”方法，是指數(shù)學(xué)家們把待解決或未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已解決或者比較容易解決的問題中去，最終求得原問題解答的一種手段和方法 。
以上的解釋我們可以初步理解為，化歸方法就是要通過某種手段將一個(gè)問題轉(zhuǎn)化到另一問題，但要使轉(zhuǎn)化后問題更容易解決。下面就舉一個(gè)例子來理解一下化歸思想方法：
2 解不等式log
分析：當(dāng)我初看此題時(shí)，我們不知道怎么著手解決，思考一下想這類不等式的問題，我們能不能轉(zhuǎn)化為一般不等式的方法呢？通過分析將解這個(gè)不等式轉(zhuǎn)化到解以下一般形式的不等式：
（1）
（2）
解（1），（2）可得不等式的解為（-1，0） （3，+ ）。
通過以上例1的解決，我們熟悉了一下化歸方法，可以得出化歸思想方法的一般思維過程如圖1所示：
新問題 問題
解答 解答問題
這也是說理想的化歸方法。是通過數(shù)學(xué)內(nèi)部聯(lián)系和矛盾運(yùn)動(dòng)，在推移轉(zhuǎn)化中實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，也就是把有待解決的問題轉(zhuǎn)化為規(guī)范問題，從而使問題得到解決 �；瘹w的方法有多種多樣，但是它要將新的問題變得簡(jiǎn)單，熟悉，容易。這樣才有利與新的問題更好得到地解決。盲目隨心所欲的化歸，可能使新的問題更復(fù)雜，更難以解決�；瘹w的目的就是要實(shí)現(xiàn)問題的規(guī)范化。所以使用化歸方法的時(shí)候也要遵循一定的原則，使問題規(guī)范化。下面就結(jié)合具體的例子來談一下使用化歸方法遵循的原則。
1．在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到一些我們無(wú)從下手的題目，我們可以通過化歸將有待解決的問題轉(zhuǎn)化到比較有利與我們運(yùn)用的熟悉的知識(shí)和問題來解決。
例2．求函數(shù) 的值域？
分析：此題若按一般思維，根本無(wú)從下手，因?yàn)橛袃蓚�(gè)根式，現(xiàn)在我們化簡(jiǎn)一下根式可得： y
看這個(gè)式子我們很熟悉的感到這是 0 P（x,0）x
兩點(diǎn)間的距離公式，于是：
我們?cè)O(shè)P（x，0），A（-2，-1），B（2，2）
又因?yàn)槿切蔚膬蛇呏痛笥诘谌�，則
即
。
所以函數(shù)y的值域?yàn)椋?， ）。
2．用化歸方法時(shí)盡量的把比較復(fù)雜的問題化歸到簡(jiǎn)單及容易確定解題方向的問題，通過對(duì)簡(jiǎn)單問題的解答來實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜的問題的解決。
例3，已知函數(shù) ，求：函數(shù) 最大值及取得最大值的自變量x的集合？
分析：此題的三角函數(shù)是2次的形式，是一個(gè)復(fù)雜的三角函數(shù)的方程，將這些2次三角函數(shù)化簡(jiǎn)，即有：
在通過對(duì) 的確定即有：
當(dāng) 時(shí)有：
取得最大值 。
3在我們解題時(shí)常常會(huì)遇到一些比較抽象的問題，那我們可以將這些問題化歸更加具體直觀，使其具體化。將抽象的問題化歸得具體，常用數(shù)形結(jié)合的化歸方法。例如：
例4．求函數(shù) ，在[1，4]上的最值？
分析：此題在給的區(qū)間上的最值比較模糊，不能確定，那我們有數(shù)形化歸的思想來確定一下在給定區(qū)間上的單調(diào)性。那么有：
如圖，可知f(x)在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增
即
所以要求的最大值38和最小值11
4．?dāng)?shù)學(xué)在某種意義上也可以看做是一門藝術(shù)，也有數(shù)學(xué)美，我們用數(shù)學(xué)方法也講究數(shù)學(xué)美，而和諧化是數(shù)學(xué)內(nèi)在美的內(nèi)容之一，所以有些問題我們通過化歸使其更加和諧統(tǒng)一，配合恰當(dāng)和勻稱。
例5． 、 、 、 是互不相等的數(shù)，求證：
分析：通過觀察，發(fā)現(xiàn)此題有一定的內(nèi)在聯(lián)系，即不等式的左邊每個(gè)字母都用了3次，但是左右還是不配合不恰當(dāng)，看不出什么有用的關(guān)系。于是我們變形一下不等式，即有：
令
即原不等式化為：
這是比較和諧勻稱，于是我們即證
（ ） 16
有因?yàn)?、 、 、 是互不相等的數(shù)。
所以
（ ） ，
即有
（ ） 16
命題得證。
以上這些是使用化歸思想方法所要遵循的幾點(diǎn)原則。我們?cè)谥袑W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要遵循化歸思想方法的基本原則有效的進(jìn)行化歸思想方法的教學(xué)。
在中學(xué)數(shù)學(xué)中，經(jīng)常出現(xiàn)的化歸方法有生熟轉(zhuǎn)化，映射轉(zhuǎn)化，數(shù)形轉(zhuǎn)化，構(gòu)造轉(zhuǎn)化及特殊法化歸。它的形式也是多中多樣的主要有縱向化歸，橫向化歸，同向化歸及逆向化歸。這些化歸方法和形式，始終離不開化歸思想的三要素，那就是化歸的對(duì)象，化歸的目標(biāo)和化歸的過程。（引用張雄）�；瘹w的實(shí)質(zhì)是不斷的變更問題，有時(shí)變更問題的條件，有時(shí)是變更問題的結(jié)論，有時(shí)是將整個(gè)問題進(jìn)行變更，變更為一個(gè)與原命題等價(jià)的問題。要正確的運(yùn)用化歸思想就要分清化歸的對(duì)象，目標(biāo)，來考慮化歸過程中要使用的化歸方法形式。下面就結(jié)合中學(xué)數(shù)學(xué)題目中用到化歸思想來討論一下中學(xué)數(shù)學(xué)中的化歸方法及教學(xué)。
1．隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展和新課程改革深入，化歸思想方法做為一般方法原則在現(xiàn)代數(shù)學(xué)形式下主要表現(xiàn)為關(guān)系（relationship）映射(mapping)反演(inversion)方法，簡(jiǎn)稱RMI法 。這一方法是有我國(guó)數(shù)學(xué)家徐利治教授提出來的。（問題） （問題 ） （結(jié)果 ） （結(jié)果）。在求復(fù)雜問題時(shí)可能要借助多步的RMI程序。在中學(xué)數(shù)學(xué)中適當(dāng)?shù)臐B透RMI方法的思想，有助培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，獨(dú)創(chuàng)性和敏感性，提高學(xué)生的現(xiàn)代數(shù)學(xué)意識(shí)。
例6．過點(diǎn)P（2，2）并和橢圓 相切的直線方程？
分析：運(yùn)用RMI法，對(duì)橢圓進(jìn)行伸縮變換，將橢圓換成圓的問題。
令 ， ，則
P（2，2） 即：
即
即
另一切線不存在，即
因此要求的切線方程為 。
2．化歸思想不只在函數(shù)中用的是反演映射法，在函數(shù)中常用的還有數(shù)形化歸，以及函數(shù)的恒等變形化歸。其中例1就是典型的數(shù)形結(jié)合的化歸思想，下面在看一個(gè)函數(shù)的恒等變形化歸的例子：
例7．若
分析：此題若以x值代入來求函數(shù)y的值太繁瑣了，若利用恒等變形化歸，即可化繁為簡(jiǎn)。
即
又因?yàn)?nbsp;
函數(shù)
=
所以要求的函數(shù)值y為5。
以上就是恒等變形的化歸。通過對(duì)數(shù)行化歸和恒等變形化歸的教學(xué)，可以培養(yǎng)學(xué)生們的數(shù)學(xué)思維能力，使學(xué)生靈活的運(yùn)用有關(guān)知識(shí)更好的將數(shù)與形地結(jié)合，也讓他們感覺到數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系及數(shù)學(xué)內(nèi)在美，也使學(xué)生更加熟練的運(yùn)用相關(guān)的定理推論。
3．在中學(xué)里學(xué)過平面幾何和立體幾何，我們經(jīng)常將平面幾何學(xué)習(xí)問題化歸到平行線與相交線的討論，將立體幾何的空間形式轉(zhuǎn)化到平面形式，通過對(duì)這些幾何問題的化歸思想方法的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，可以培養(yǎng)學(xué)生的分剖化歸能力，更好地提高學(xué)生想象能力及空間思維能力。常用方法如下：
例8．如果用鐵絲為成底面為正方形面積為25平方厘米，高為2厘米的長(zhǎng)方體，共需要多少鐵絲？
分析：這是一個(gè)簡(jiǎn)單而且實(shí)際的立體幾何的問題，發(fā)揮一下想象能力，會(huì)發(fā)現(xiàn)解這題的一些簡(jiǎn)單的方法。
方法一：經(jīng)思考，可以將這個(gè)長(zhǎng)方體歸結(jié)為它是由上下兩個(gè)正方形面加四個(gè)高組成的，于是就的到：
需要的長(zhǎng)度= （cm）
方法二：我們可以將這個(gè)長(zhǎng)方體展開為一個(gè)平面的形式，
把它化歸到平面幾何的問題，如圖3 （圖3）
其中虛線為公共的邊不計(jì)算，那么計(jì)算下實(shí)線的長(zhǎng)度為48厘米。
所以共需要48厘米。
例9．等腰 ABC的底邊是BC，延長(zhǎng)AB到D，使BD=AB，取AB的中點(diǎn)E，求證：CD=2CE
分析：需在CD上分解CD，取CD的一半，則取
CD中點(diǎn)F，CF= CD，在證CF=CE
結(jié)合圖4，只需證
證明：取CD中點(diǎn)F，連結(jié)BF，則
BF=
且
又 ，得
因此
即命題得證。
4．化歸思想了在以上的應(yīng)用外，在中學(xué)的數(shù)列中也會(huì)常用到這種思想。例如數(shù)學(xué)歸納法也用到化歸的思想，其中A 為真命題，假設(shè)A 為真，則原命題為真。其中證 為真時(shí)，就把它化歸到命題A 中去。這樣的證明就像羅沙說的燒開水這個(gè)形象的比喻那樣，把水倒掉就回到了前一步，而前一步已經(jīng)假設(shè)成立，那命題就得證了。
例10．若數(shù)列{ }滿足 ，證明： 是等差數(shù)列？
證明：由題意得：
4
即
①
②
由②- ①得：
③
此時(shí)我們就發(fā)現(xiàn) 又一定的關(guān)系，那么可以用數(shù)學(xué)歸納法，設(shè) 為真，將 化歸到用 表示，于是我們有：
令 ，
設(shè) ，此時(shí)即證
（1），當(dāng)n=1，2時(shí)成立
（2），假設(shè)n=k（k ）時(shí)也成立，即有： ，那么由③中 的關(guān)系，可以將證 的成立化歸到 成立中去。
當(dāng)n=k+1時(shí)
有
所以
=
此時(shí)，當(dāng)n=k+1時(shí)，成立。
即 成立，所以 ，
因此 是等差數(shù)列。
通過對(duì)化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用的探討，更明白地可以看出，化歸思想方法是一種間接解決問題的方法，化歸的實(shí)質(zhì)是通過仔細(xì)的觀察分析，將比較難于解決的問題遵循簡(jiǎn)單化、熟悉化、具體化和諧化的原則通過變形、分割、映射將其進(jìn)行轉(zhuǎn)化，歸結(jié)到一類已解決或容易解決的問題中去。
化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用的例子舉不勝數(shù)，隨處可見，關(guān)鍵是老師在其中充當(dāng)引導(dǎo)的角色，要知道“授之以魚，不如授之漁”，要教會(huì)學(xué)生做一題很容易，但更重要的是要教會(huì)他們運(yùn)用科學(xué)的思維方式和思考方法，通過對(duì)化歸思想的學(xué)習(xí)和運(yùn)用，可以讓學(xué)生理解基本概念，提高運(yùn)算能力和解題能力，也可以培養(yǎng)學(xué)生想象能力，可以提高學(xué)生的現(xiàn)代數(shù)學(xué)意識(shí)。
轉(zhuǎn)化問題是解決問題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化思想就是化歸的思想，從宏觀上看，化歸的思想是數(shù)學(xué)問題解決過程中形成數(shù)學(xué)構(gòu)想的方法論依據(jù)；從微觀上看，數(shù)學(xué)問題的解決過程就是不斷地發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，直至化歸為一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題的過程�？梢�，化歸方法在數(shù)學(xué)問題中具有十分重要的意義！
文獻(xiàn)綜述
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