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《圓錐曲線》定義的“條件”教學(xué)
《圓錐曲線》定義的“條件”教學(xué)新疆石河子高級中學(xué) 尤乃奎
【摘 要】數(shù)學(xué)定義、定理、公式或問題中都或多或少涉及到條件的限制，做好數(shù)學(xué)知識的“條件”教學(xué)，對于學(xué)生透徹地理解數(shù)學(xué)理論、全面地解決數(shù)學(xué)問題大有幫助。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)；定義；定理；公式 問題；條件；教學(xué)
2013年4月，在高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》（人教版）的教學(xué)中，當(dāng)我講橢圓、雙曲線、拋物線的定義時，我都會遇到同樣的一個問題，而且是學(xué)生每每質(zhì)詢的一個問題，那就是：“老師，定義中括號里的條件該怎么解釋？”
數(shù)學(xué)定義、定理、公式或問題中都或多或少涉及到條件的限制，做好數(shù)學(xué)知識的“條件”教學(xué)，對于學(xué)生透徹地理解數(shù)學(xué)理論、全面地解決數(shù)學(xué)問題都非常有幫助，現(xiàn)在已經(jīng)完成了高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》的教學(xué)，我覺得有必要把我在《圓錐曲線》定義教學(xué)中，關(guān)于定義中條件的教學(xué)片段梳理一下。
《圓錐曲線》“條件”教學(xué)片段一：橢圓定義中的條件限制
講到2.2.1節(jié)《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》時，橢圓的定義（課本第38頁）是：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。
學(xué)生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“大于|F1F2|”）呢？
教師答：因?yàn)槿绻サ暨@個條件，則定義所表示的圖形將不一定是橢圓。
學(xué)生問：為什么？
教師答：這個問題可以從三個角度理解：
�、偃绻麠l件是“大于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容表示橢圓，這毫無疑問，正如我們用小繩子按住兩頭所演示的一樣。
②如果條件是“等于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容表示線段F1F2。（我在黑板上劃線段F1F2，并取其上一點(diǎn)P,并演示|PF1|+|PF2|=|F1F2|,學(xué)生點(diǎn)頭表示理解）。
�、廴绻麠l件是“小于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容不表示任何圖形，即動點(diǎn)軌跡不存在。（我在黑板上演示，顯然|PF1|+|PF2|﹤|F1F2|不能產(chǎn)生任何圖形）。
進(jìn)一步，我用三個小問題進(jìn)行鞏固：
問題：試判斷以下情況動點(diǎn)的軌跡：
�。�1）到兩定點(diǎn)F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之和大于14的點(diǎn)的軌跡是什么？
�。�2）到兩定點(diǎn)F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之和等于14的點(diǎn)的軌跡是什么？
（3）到兩定點(diǎn)F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之和小于14的點(diǎn)的軌跡是什么？
學(xué)生很快就可以得出結(jié)論。
《圓錐曲線》“條件”教學(xué)片段二：雙曲線定義中的條件限制
很有戲劇性，講到2.3.1節(jié)《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》時，其境遇竟然和講橢圓的定義時，驚人的相似。
雙曲線的定義（課本第52頁）是：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1,F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。
學(xué)生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“小于|F1F2|”呢？
教師答：因?yàn)槿绻サ暨@個條件，則定義所表示的圖形將不一定是雙曲線。
學(xué)生問：為什么？
教師答：這個問題可以從三個角度理解：
�、偃绻麠l件是“小于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容表示雙曲線，這毫無疑問，正如我們用拉鏈按住兩頭所演示的一樣。
�、谌绻麠l件是“等于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容表示以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包含端點(diǎn)）。（我在黑板上劃出直線F1F2，并在點(diǎn)F1、F2兩側(cè)各取兩點(diǎn)P、Q,并演示|PF1|-|PF2|=|F1F2|,指出動點(diǎn)的軌跡是射線F1P、F2Q，學(xué)生點(diǎn)頭表示贊同）。
�、廴绻麠l件是“大于|F1F2|”，則定義敘述的內(nèi)容不表示任何圖形，即動點(diǎn)軌跡不存在。（我在黑板上演示，顯然|PF1|-|PF2|﹥|F1F2|不能產(chǎn)生任何圖形）。
同樣，我給出三個小問題加以辨別：
問題：試判斷以下情況動點(diǎn)的軌跡：
（1）動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之差的絕對值小于14的點(diǎn)的軌跡是什么？
�。�2）動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之差的絕對值等于14的點(diǎn)的軌跡是什么？
（3）動點(diǎn)P到兩定點(diǎn)F1（-7,0），F(xiàn)2（7,0）的距離之差的絕對值大于14的點(diǎn)的軌跡是什么？
學(xué)生也可以很快得出結(jié)論。
然后，我又給出兩個問題：
條件改為“|PF1|-|PF2|﹤14”，動點(diǎn)的軌跡又會怎樣呢？
若條件改為“|PF2|-|PF1||﹤14”，動點(diǎn)的軌跡又會怎樣呢？
學(xué)生結(jié)合雙曲線的圖形，很容易判斷是：雙曲線的左支和右支。
《圓錐曲線》“條件”教學(xué)片段三：拋物線定義中的條件限制
講到2.4.1節(jié)《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》一課時，同樣遇到了“條件”問題。
拋物線的定義（課本第65頁）是：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線（不經(jīng)過點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。
在用直尺、三角板、細(xì)繩等演示了拋物線形成過程之后，學(xué)生又不禁要對“條件”發(fā)問了。
學(xué)生問：老師，為什么定義中括號里要加一個條件“（不經(jīng)過點(diǎn)F）”呢？
教師答：如果去掉“（不經(jīng)過點(diǎn)F）”這個條件，則定義所表示的圖形將不一定是拋物線。
學(xué)生問：為什么？
教師答：這個問題可以從兩個角度理解：
①如果條件是“（不經(jīng)過點(diǎn)F）”，則定義敘述的內(nèi)容表示拋物線，這正如我們直尺、三角板、細(xì)繩等所演示的一樣。
②如果沒有“（不經(jīng)過點(diǎn)F）”條件限制，則當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)F時，點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)F，且垂直于直線的一條直線，定義敘述的內(nèi)容表示的圖形是一條直線而非拋物線。（然后我在黑板上畫圖演示，學(xué)生恍然大悟，看來學(xué)習(xí)知識必須要細(xì)致�。�
然后，我又出了兩道題加以鞏固。
�。�1）平面內(nèi)到定點(diǎn)F的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡是（ ）
A.拋物線 B.直線
C.拋物線或直線 D.不存在
�。�2）求過點(diǎn)F（1,0）且與直線：x+y-1=0的距離相等的點(diǎn)的軌跡。
很顯然（1）選C,（2）答案是：x-y-1=0（即：過定點(diǎn)F，且垂直于直線的一條直線）。
通過對《圓錐曲線》中橢圓、雙曲線、拋物線的定義教學(xué)，使我體會到“條件”教學(xué)的重要性，對于每一個數(shù)學(xué)知識點(diǎn)，必須清楚、完整地點(diǎn)撥，不留知識盲區(qū)，不留認(rèn)識死角，真理越辨越明，只有讓學(xué)生全面、透徹的掌握知識，才能做到一通百通、游刃有余。
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