淺談初中數(shù)學(xué)中數(shù)形思想轉(zhuǎn)化

　　淺談初中數(shù)學(xué)中數(shù)形思想轉(zhuǎn)化

　　——以《反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)》為例

　　邵東縣周斕初中數(shù)學(xué)名師工作室

　　反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。我認(rèn)為在“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”這一課的教學(xué)過程中，“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，是貫穿始終的一條主線。我在教學(xué)時(shí)重點(diǎn)從以下三個方面來談。

　　一、對數(shù)形結(jié)合的解讀

　　第一，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體，由“解析式”到“作圖”，再推導(dǎo)出“性質(zhì)”，都充分體現(xiàn)了由“數(shù)”到“形”，再由“形”到“數(shù)”的相互轉(zhuǎn)化過程，這是數(shù)形結(jié)合思想的具體應(yīng)用。本課的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施中，通過“描點(diǎn)法”作圖、觀察幾個具體的反比例函數(shù)的圖象、課件演示展示“由動點(diǎn)生成函數(shù)圖象”，很好地反映了“數(shù)”、“形”之間的這種內(nèi)在的聯(lián)系。

　　第二，在“列表取值時(shí)，變量為何不能取零”、“反比例函數(shù)的圖象為何與坐標(biāo)軸不會有相交”、“特殊的反比例函數(shù)性質(zhì)能否推廣到一般”這幾個問題中，如果單純依靠觀察圖象，是無法得出具有“說服力”的結(jié)論的，這就要求“回歸”解析式，再認(rèn)識，再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析。即我們可以借助直觀圖形，幫助我們思考相關(guān)的問題，但僅有圖形的直觀是不夠的，必須考慮“已經(jīng)”形式化的“數(shù)”的本質(zhì)“特征”，使“數(shù)”、“形”之間達(dá)到統(tǒng)一。于是，我在教學(xué)中，同樣關(guān)注了對反比例函數(shù)解析式的分析。

　　第三，在總結(jié)得出反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)之后，我們?yōu)閷W(xué)生提供了相關(guān)習(xí)題，幫助學(xué)生理解并靈活運(yùn)用反比例函數(shù)的性質(zhì)，初步把握數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化意識，目的是為學(xué)生提供一個體會“數(shù)形結(jié)合”、以及應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”來分析問題，解決問題的平臺，使學(xué)生經(jīng)歷利用“函數(shù)圖形”形象直觀的來認(rèn)識、解決與函數(shù)有關(guān)問題的過程。

　　二、對教學(xué)效果的反饋

　　在實(shí)際授課過程中，教學(xué)環(huán)節(jié)的展開是順暢、自然的，如“觀察探究，形成新知”環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠在教師的引導(dǎo)下，說出一次函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)，并通過類比一次函數(shù)的研究方法，完成列表、描點(diǎn)、畫出反比例函數(shù)圖象的過程，也可以通過觀察所畫出的反比例函數(shù)的圖象，得出其圖象的“特征”和函數(shù)的“性質(zhì)”。

　　由于學(xué)生剛剛接觸反比例函數(shù)的圖象，圖象的外在形式(雙曲線)與一次函數(shù)的圖象(直線)之間存在較大的差異，學(xué)生還缺乏對反比例函數(shù)圖象“整體形象”的把握。一方面，當(dāng)反比例系數(shù)的絕對值較大時(shí)，部分學(xué)生畫出的圖形，不能完整地反映其圖象“漸近”的特征；另一方面，在應(yīng)用反比例函數(shù)(增或減)的性質(zhì)，比較反比例函數(shù)的兩個函數(shù)值的大小時(shí)，學(xué)生還不能有意識地從“自變量的正負(fù)”來考慮問題，這致使學(xué)生在課后“目標(biāo)檢測”時(shí)，對部分問題的解決出現(xiàn)偏差。不可忽視本節(jié)課學(xué)習(xí)的一個重要的方法，就是采用“類比”。在教學(xué)過程中，我積極引導(dǎo)學(xué)生采用“類比一次函數(shù)學(xué)習(xí)的方法”，積極調(diào)動學(xué)生“ 推理”的因素，以確保學(xué)習(xí)知識的“正遷移”效應(yīng)。事實(shí)上，這樣也會帶來另一些負(fù)影響，學(xué)生往往對屬于一次函數(shù)和反比例函數(shù)“共性”的結(jié)論印象比較深刻，而對于新的反比例函數(shù)“個性”的結(jié)論，在理解上反而會受到一些干擾。?

　　三、對教學(xué)設(shè)計(jì)的改進(jìn)

　　1、必須強(qiáng)調(diào)“回歸”反比例函數(shù)解析式。在這節(jié)課的教學(xué)中，我通過描點(diǎn)畫出反比例函數(shù)的圖像，使反比例函數(shù)解析式表示的函數(shù)關(guān)系直觀化，便于學(xué)生通過觀察，得出函數(shù)圖象的“特征”及函數(shù)的“性質(zhì)”，但由于這樣得出的結(jié)論，對“圖像”的依賴性過強(qiáng)，甚至形成了“解析式--圖象--性質(zhì)”的思維定勢，而忽視了數(shù)學(xué)形式化的意義，也有悖于“圖形直觀”在研究函數(shù)問題中的輔助性作用，也就是說，我們不能將對函數(shù)的認(rèn)識，完全等價(jià)于對其圖形的認(rèn)識，應(yīng)該把“圖像”與“解析式”結(jié)合起來，以利于更好地探究兩個變量之間變化的規(guī)律性。

　　因此，本課的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)注重分析“反比例函數(shù)圖象的位置特征”，積極引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析“反比例函數(shù)的增減變化趨勢”，也不可忽視對反比例函數(shù)解析式的剖析。這種從“數(shù)”的方面的再認(rèn)識，肯定會使學(xué)生對反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的認(rèn)識更加科學(xué)精確。

　　2、必須關(guān)注“類比”中的異同點(diǎn)。反比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，可以模仿類比一次函數(shù)的研究方法進(jìn)行探究，從而體現(xiàn)了函數(shù)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律和方法。在這課的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我尊重教材的編寫意圖，以課本例題為例、以課后練習(xí)訓(xùn)練為主，適當(dāng)增加一些習(xí)題，其中解題思路是通過“描點(diǎn)——作圖——觀察”圖象，到分析圖象“特征”，再到確定函數(shù)中變量x、y 之間的“變化規(guī)律”，從而得出函數(shù)的“特性”，這一探究的過程和方法，是學(xué)習(xí)初等函數(shù)時(shí)不可或缺的。事實(shí)上，初中學(xué)段后續(xù)研究的二次函數(shù)，高中學(xué)段研究的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等，都可以采用與之類似的“探究模式”�？梢�，這種方法很重要，對于學(xué)生領(lǐng)悟和理解反比例函數(shù)、建立認(rèn)識反比例函數(shù)有著重要的意義。我們在運(yùn)用“類比”的方法，經(jīng)歷探究反比例函數(shù)的過程中，還應(yīng)注意“趨同求異”，關(guān)注反比例函數(shù)與一次函數(shù)之間的差異。?

　　綜上所述，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時(shí)候，學(xué)生已經(jīng)歷過觀察、分析圖象的特征，抽象、概括函數(shù)性質(zhì)的過程，對探究函數(shù)性質(zhì)所用的探究方法也有一定的了解。通過類比，結(jié)合反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)，從使用的方法上不會存在障礙，但由于反比例函數(shù)圖象相對于一次函數(shù)圖象，其形態(tài)豐富、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，具有自身的特殊性，因此，對反比例函數(shù)性質(zhì)的深入理解和掌握，對性質(zhì)探究中的數(shù)學(xué)思想的體會和運(yùn)用，還有一定的困難。教學(xué)中，必須強(qiáng)調(diào)說明由“數(shù)”到“形”、由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化關(guān)系，以“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化為途徑，展開探究活動。在準(zhǔn)確畫出反比例函數(shù)的圖象的同時(shí)，理解反比例函數(shù)的性質(zhì)，并能靈活應(yīng)用，解決一些實(shí)際問題。

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