指數(shù)
教學(xué)目標(biāo)
1．理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．
(1) 理解n次方根，n次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的根式計(jì)算．
(2) 能認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)指數(shù)是指數(shù)概念由整數(shù)向有理數(shù)的一次推廣，了解它是根式的一種新的寫法，能正確進(jìn)行根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．
(3) 能利用有理指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)簡(jiǎn)化根式運(yùn)算．
2．通過指數(shù)范圍的擴(kuò)大，使學(xué)生能理解運(yùn)算的本質(zhì)，認(rèn)識(shí)到知識(shí)之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，認(rèn)識(shí)到符號(hào)化思想的重要性，在抽象的符號(hào)或字母的運(yùn)算中提高運(yùn)算能力．
3．通過對(duì)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生能學(xué)會(huì)透過表面去認(rèn)清事物的本質(zhì)．
教學(xué)建議
教材分析
�。�1）本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念及其運(yùn)算性質(zhì)．教學(xué)難點(diǎn)是根式的概念和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念．
�。�2）由于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念是借助 次方根給出的，而 次根式， 次方根又是學(xué)生剛剛接觸到的概念，也是比較陌生的．以此為基礎(chǔ)去學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)新知識(shí)自然是比較困難的．且 次方根，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義都是用抽象字母和符號(hào)的形式給出的，學(xué)生在接受理解上也是比較困難的．基于以上原因，根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念成為本節(jié)應(yīng)突破的難點(diǎn)．
（3）學(xué)習(xí)本節(jié)主要目的是將指數(shù)從整數(shù)指數(shù)推廣到有理數(shù)指數(shù)，為指數(shù)函數(shù)的研究作好準(zhǔn)備．且有理指數(shù)冪具備的運(yùn)算性質(zhì)還可以推廣到無(wú)理指數(shù)冪，也就是說(shuō)在運(yùn)算上已將指數(shù)范圍推廣到了實(shí)數(shù)范圍，為對(duì)數(shù)運(yùn)算的出現(xiàn)作好了準(zhǔn)備，而使這些成為可能的就是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的引入．
教法建議
（1）根式概念的引入是本節(jié)教學(xué)的關(guān)鍵．為了讓學(xué)生感到根式的學(xué)習(xí)是很自然也很必要的，不妨在設(shè)計(jì)時(shí)可以考慮以下幾點(diǎn)：
①先以具體數(shù)字為例，復(fù)習(xí)正整數(shù)冪，介紹各部分的名稱及運(yùn)算的本質(zhì)是乘方，讓它與學(xué)生熟悉的運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)，樹立起轉(zhuǎn)化的觀點(diǎn)．
�、诋�(dāng)復(fù)習(xí)負(fù)指數(shù)冪時(shí)，由于與乘除共同有關(guān)，所以出現(xiàn)了分式，這樣為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算與根式相關(guān)作好準(zhǔn)備．
③在引入根式時(shí)可先由學(xué)生知道的平方根和立方根入手，再大膽寫出 即誰(shuí)的四次方根等于16．指出2和-2是它的四次方根后再把指數(shù)換成 ，寫成 即誰(shuí)的 次方等于 ，在語(yǔ)言描述的同時(shí)，也把數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言自然的給出．
�。�2）在 次方根的定義中并沒有將 次方根符號(hào)化原因是結(jié)論的多樣性，不能亂表示，所以需要先研究規(guī)律，再把它符號(hào)化．按這樣的研究思路學(xué)生對(duì) 次方根的認(rèn)識(shí)逐層遞進(jìn)，直至找出運(yùn)算上的規(guī)律．
教學(xué)設(shè)計(jì)示例
課題 根式
教學(xué)目標(biāo)：
1．理解 次方根和 次根式的概念及其性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的根式計(jì)算．
2．通過對(duì)根式的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能進(jìn)一步認(rèn)清各種運(yùn)算間的聯(lián)系，提高歸納，概括的能力．
3．通過對(duì)根式的化簡(jiǎn)，使學(xué)生了解由特殊到一般的解決問題的方法，滲透分類討論的思想．
教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：
重點(diǎn)是 次方根的概念及其取值規(guī)律．
難點(diǎn)是 次方根的概念及其運(yùn)算根據(jù)的研究．
教學(xué)用具：投影儀
教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)探索式．
教學(xué)過程：
一. 復(fù)習(xí)引入
今天我們將學(xué)習(xí)新的一節(jié)指數(shù)．指數(shù)與其說(shuō)它是一個(gè)概念，不如說(shuō)它是一種重要的運(yùn)算，且這種運(yùn)算在初中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過，今天只不過把它進(jìn)一步向前發(fā)展．
下面從我們熟悉的指數(shù)的復(fù)習(xí)開始．能舉一個(gè)具體的指數(shù)運(yùn)算的例子嗎?
以 為例，是指數(shù)運(yùn)算要求學(xué)生指明各部分的名稱，其中2稱為底數(shù)，4為指數(shù)， 稱為冪．
教師還可引導(dǎo)學(xué)生回顧指數(shù)運(yùn)算的由來(lái)，是從乘方而來(lái)，因此最初指數(shù)只能是正整數(shù)，同時(shí)引出正整數(shù)指數(shù)冪的定義． ．然后繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生回憶零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的定義，分別寫出 及 ，同時(shí)追問這里 的由來(lái)．最后將三條放在一起，用投影儀打出整數(shù)指數(shù)冪的概念
2．5指數(shù)(板書)
1. 關(guān)于整數(shù)指數(shù)冪的復(fù)習(xí)
(1) 概念
既然是一種運(yùn)算，除了定義之外，自然要給出它的運(yùn)算規(guī)律，再來(lái)回顧一下關(guān)于整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．可以找一個(gè)學(xué)生說(shuō)出相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì)，教師用投影儀依次打出：
(2) 運(yùn)算性質(zhì)： ; ; ．
復(fù)習(xí)后直接提出新課題，今天在此基礎(chǔ)上把指數(shù)從整數(shù)范圍推廣到分?jǐn)?shù)范圍．在剛才的復(fù)習(xí)我們已經(jīng)看到當(dāng)指數(shù)在整數(shù)范圍內(nèi)時(shí)，運(yùn)算最多也就是與分式有關(guān)，如果指數(shù)推廣到分指數(shù)會(huì)與什么有關(guān)呢?應(yīng)與根式有關(guān)．初中時(shí)雖然也學(xué)過一點(diǎn)根式，但不夠用，因此有必要先從根式說(shuō)起．
2. 根式(板書)
我們知道根式來(lái)源于開方，開方是乘方的逆運(yùn)算，所以談根式還是先從大家熟悉的乘方說(shuō)起．
如
如果給出了4和2進(jìn)行運(yùn)算，那就是乘方運(yùn)算．如果是知道了16和2，求4即 ，求?
問題也就是： 誰(shuí)的平方是16 ，大家都能回答是4和-4，這就是開方運(yùn)算，且4和-4 有個(gè)名字叫16的平方根．
再如
知3和8，問題就是誰(shuí)的立方是8?這就是開方運(yùn)算，大家也知道結(jié)果為2，同時(shí)指出2叫做8的立方根．
(根據(jù)情況教師可再適當(dāng)舉幾個(gè)例子，如 ，要求學(xué)生用語(yǔ)言描述式子的含義，I再說(shuō)出結(jié)果分別為 和-2，同時(shí)指出它們分別稱為9的四次方根和-8的立方根)
在以上幾個(gè)式子會(huì)解釋的基礎(chǔ)上，提出 即一個(gè)數(shù)的 次方等于 ，求這個(gè)數(shù)，即開 次方，那么這個(gè)數(shù)叫做 的 次方根．
(1) 次方根的定義：如果一個(gè)數(shù)的 次方等于 ( ，那么這個(gè)數(shù)叫做 的 次方根．
(板書)
對(duì)定義理解的第一步就是能把上述語(yǔ)言用數(shù)學(xué)符號(hào)表示，請(qǐng)同學(xué)們?cè)囋嚳矗?/p>
由學(xué)生翻譯為：若 ( ，則 叫做 的 次方根．(把它補(bǔ)在定義的后面)
翻譯后教師在此基礎(chǔ)上再次提出翻譯的不夠徹底，如結(jié)論中的 的 次方根就沒有用符號(hào)表示，原因是什么?(如果學(xué)生不知從何入手，可引導(dǎo)學(xué)生回到剛才的幾個(gè)例子，在符號(hào)表示上存在的問題，并一起研究解決的辦法)最終把問題引向?qū)?sub> 的 次方根的取值規(guī)律的研究．
(2) 的 次方根的取值規(guī)律： (板書)
先讓學(xué)生看到 的 次方根的個(gè)數(shù)是由 的奇偶性決定的，所以應(yīng)對(duì) 分奇偶情況討論
當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，再問學(xué)生 的 次方根是個(gè)什么樣的數(shù)，與誰(shuí)有關(guān)，再提出對(duì) 的正負(fù)的討論，從而明確分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，按 的正負(fù)分為三種情況．
Ⅰ當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)
， 的 次方根為一個(gè)正數(shù);
， 的 次方根為一個(gè)負(fù)數(shù);
， 的 次方根為零． (板書)
當(dāng)奇數(shù)情況討論完之后，再用幾個(gè)具體例子輔助說(shuō)明 為偶數(shù)時(shí)的結(jié)論，再由學(xué)生總結(jié)歸納
�、虍�(dāng) 為偶數(shù)時(shí)
， 的 次方根為兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù);
， 的 次方根不存在;
， 的 次方根為零．
對(duì)于這個(gè)規(guī)律的總結(jié)，還可以先看 的正負(fù)，再分 的奇偶，換個(gè)角度加深理解．
有了這個(gè)規(guī)律之后，就可以用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)去描述 次方根了．
(3) 的 次方根的符號(hào)表示 (板書)
可由學(xué)生試說(shuō)一說(shuō)，若學(xué)生說(shuō)不好，教師可與學(xué)生一起總結(jié)，當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，由于無(wú)論 為何值， 次方根都只有一個(gè)值，可用統(tǒng)一的符號(hào) 表示，此時(shí)要求學(xué)生解釋符號(hào)的含義： 為正數(shù)，則 為一個(gè)確定的正數(shù)， 為負(fù)數(shù)， 則 為一個(gè)確定的負(fù)數(shù)， 為零，則 為零．
當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)， 為正數(shù)時(shí)，有兩個(gè)值，而 只能表示其中一個(gè)且應(yīng)表示是正的，另一個(gè)應(yīng)與它互為相反數(shù)，故只需在前面放一個(gè)負(fù)號(hào)，寫成 ，其含義為 為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的 次方根有兩個(gè)分別為 和 ．
為了加深對(duì)符號(hào)的認(rèn)識(shí)，還可以提出這樣的問題： 一定表示一個(gè)正數(shù)嗎? 中的 一定是正數(shù)或非負(fù)數(shù)嗎?讓學(xué)生來(lái)回答，在回答中進(jìn)一步認(rèn)清符號(hào)的含義，再?gòu)牧硪粋�(gè)角度進(jìn)行總結(jié) ．對(duì)于符號(hào) ，當(dāng) 為偶數(shù)是，它有意義的條件是 ;當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，它有意義的條件時(shí) ．
把 稱為根式，其中 為根指數(shù)， 叫做被開方數(shù)．(板書)
(4) 根式運(yùn)算的依據(jù) (板書)
由于 是個(gè)數(shù)值，數(shù)值自然要進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算就要有根據(jù)，因此下面有必要進(jìn)一步研究根式運(yùn)算的依據(jù)．但我們并不過分展開，只研究一些最基本的最簡(jiǎn)單的依據(jù)．
如 應(yīng)該得什么?有學(xué)生講出理由，根據(jù) 次方根的定義，可得Ⅰ = ．(板書)
再問： 應(yīng)該得什么?也得 嗎?
若學(xué)生想不清楚，可用具體例子提示學(xué)生，如 嗎? 嗎?讓學(xué)生能發(fā)現(xiàn)結(jié)果與 有關(guān)，從而得到Ⅱ = ．(板書)
為進(jìn)一步熟悉這個(gè)運(yùn)算依據(jù)，下面通過練習(xí)來(lái)體會(huì)一下．
三．鞏固練習(xí)
例1. 求值
(1) ． (2) ．
(3) ． (4) ．
(5) ．(
要求學(xué)生口答，并說(shuō)出簡(jiǎn)要步驟．
四．小結(jié)
1． 次方根與 次根式的概念
2．二者的區(qū)別
3．運(yùn)算依據(jù)
五．作業(yè) 略
六．板書設(shè)計(jì)
2．5指數(shù) (2)取值規(guī)律 (4)運(yùn)算依據(jù)
1. 復(fù)習(xí)
2. 根式 (3)符號(hào)表示 例1
(1)定義
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