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兩條直線的位置關(guān)系
教學(xué)目標(biāo)
（1）熟練掌握兩條直線平行與垂直的充要條件，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系．
（2）理解一條直線到另一條直線的角的概念，掌握兩條直線的夾角．
�。�3）能夠根據(jù)兩條直線的方程求出它們的交點(diǎn)坐標(biāo)．
�。�4）掌握點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)和應(yīng)用．
（5）進(jìn)一步掌握求直線方程的方法．
�。�6）進(jìn)一步理解直線方程的概念，理解運(yùn)用直線的方程討論兩條直線位置關(guān)系的思想方法．
（7）通過(guò)點(diǎn)到直線距離公式的多種推導(dǎo)方法的探求，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，理解數(shù)形結(jié)合的思想方法．
教學(xué)建議
一、教材分析
1．知識(shí)結(jié)構(gòu)
2．重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)是兩條直線的平行與垂直的判斷；兩條直線的夾角；點(diǎn)到直線的距離．
難點(diǎn)是兩條直線垂直條件的推導(dǎo)；一條直線到另一條直線的角的概念和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)．
本節(jié)內(nèi)容與后邊內(nèi)容聯(lián)系十分緊密，兩條直線平行與垂直的條件和點(diǎn)到直線的距離公式在圓錐曲線中都有廣泛的應(yīng)用，因此非常重要．
（1）平行與垂直
�、倨叫�
在討論兩條直線平行的問(wèn)題時(shí)，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據(jù)傾斜角與斜率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將初中學(xué)過(guò)的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質(zhì)定理）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的語(yǔ)言，用斜率和截距重新加以刻畫，教學(xué)中應(yīng)注意斜率不存在的情況．
�、诖怪�
教材上將直線的斜率轉(zhuǎn)化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩條直線垂直的條件．結(jié)合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：
或 一個(gè)為0，另一個(gè)不存在．
（2）夾角
①應(yīng)正確區(qū)分直線 到 的角、直線 到 的角、直線 和 的夾角這三個(gè)概念．
到 的角是帶方向的角，它是指 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與 重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，它與 到 的角是不同的，如果設(shè)前者是 ，后者是 ，則 ＋ ＝ ． 與 所夾的不大于 的角成為 和 的夾角，夾角不帶方向．
當(dāng) 到 的角為銳角 時(shí)，則 和 的夾角也是 ；當(dāng) 到 的角為鈍角 時(shí)，則 和 的夾角也是 ．
�、谠谇笾本� 到 的角 時(shí)，應(yīng)注意分析圖形的幾何性質(zhì)，找出 與 ， 的傾斜角 ， 關(guān)系，得出 或 ，然后由 ， 聯(lián)想差角的正切公式，便可把圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)語(yǔ)言來(lái)表示，推導(dǎo)出
．
再由 與 的夾角與 到 的角之間的關(guān)系，而得出夾角計(jì)算公式
這種把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”的方法，是解析幾何的基本方法，要認(rèn)真揣摩．
�、蹖�(duì)于以上兩個(gè)求角公式，在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意根據(jù)具體情況選用．
（3）交點(diǎn)
①求兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題就是求它們的方程的公共解的問(wèn)題，這可以由直線的方程與方程的直線的定義來(lái)理解．
�、谠谕黄矫鎯�(nèi)，兩條直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、重合，相應(yīng)的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有惟一解、無(wú)解、無(wú)數(shù)多個(gè)解．但在實(shí)際判定時(shí)，利用直線的斜率和截距更方便．若 ， ，則：
與 相交 ；
且 ；
與 重合 且 ．
（4）點(diǎn)到直線的距離
�、冱c(diǎn)到直線的距離公式是研究點(diǎn)與直線位置關(guān)系的重要工具．教科書借助于直角三角形的面積公式，推導(dǎo)出點(diǎn)到直線的距離公式．在推導(dǎo)過(guò)程中，把與兩條坐標(biāo)軸都不平行的線段的長(zhǎng)度的計(jì)算，轉(zhuǎn)化為與坐標(biāo)軸平等或垂直的線段長(zhǎng)度的計(jì)算，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算過(guò)程．
�、诶命c(diǎn)到直線的距離公式可推出兩平行線 ， 間的距離公式： ．
�、埸c(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)，有多種方法，應(yīng)鼓勵(lì)同學(xué)們思考，下面介紹一種較簡(jiǎn)便的方法．
如右圖，設(shè) ，過(guò)點(diǎn) 作直線 的垂線，垂足為 ，則有
即
得
，
即 ，
．
當(dāng) 時(shí)，上述公式也成立．
（5）當(dāng)直線中有一條沒有斜率時(shí)，討論平行、垂直、角、距離的問(wèn)題，不必套用以上結(jié)論，這時(shí)可結(jié)合圖形幾何性質(zhì)；直接求解．
二、教法建議
1．本節(jié)知識(shí)與初中所學(xué)的平面幾何知識(shí)和三角知識(shí)聯(lián)系非常緊密，教學(xué)時(shí)應(yīng)加強(qiáng)啟發(fā)和引導(dǎo)．如學(xué)生對(duì)兩條直線的平行同位角相等的條件已經(jīng)非常熟悉，因此在研究?jī)芍本�平行時(shí)，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生迅速建立聯(lián)系：同位角—傾斜角—斜率（直線方程）．又如，在求 到 的角 時(shí)，根據(jù)圖形中角的關(guān)系，建立 與傾斜角 和 的聯(lián)系（有且只有 或 兩種情況），進(jìn)而借助三角建立與斜率的關(guān)系，得出公式．
2．本節(jié)內(nèi)容中在研究?jī)芍本�的垂直條件時(shí)，由于采用向量這一更高級(jí)的工具來(lái)處理，顯得既簡(jiǎn)單又深刻．所以教學(xué)中應(yīng)注意向量工具的運(yùn)用，可讓學(xué)生嘗試用向量推導(dǎo)兩直線平行的條件和點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)．
3．本節(jié)內(nèi)容新概念不多，但要求推導(dǎo)的內(nèi)容不少，教學(xué)時(shí)要堅(jiān)持啟發(fā)式的教學(xué)思想，重點(diǎn)放在思路的探求和結(jié)論或公式的運(yùn)用上．本節(jié)不少內(nèi)容可安排學(xué)生自學(xué)和討論，還要適當(dāng)增加練習(xí)，使學(xué)生能熟練地掌握公式，增強(qiáng)學(xué)生動(dòng)手計(jì)算的能力．本節(jié)還要加強(qiáng)根據(jù)已知條件求直線方程的教學(xué)．
4．不僅要使學(xué)生熟悉用斜率求兩直線夾角的公式，也要掌握根據(jù)直線方程系數(shù)求夾角的方法（即教材中例6的方法），同時(shí)會(huì)根據(jù)所給條件選用．
5．已知兩直線的方程會(huì)求其交點(diǎn)即可，不必研究?jī)芍本�方程系數(shù)與位置關(guān)系之間的關(guān)系．
6．在學(xué)習(xí)點(diǎn)到直線距離公式時(shí)，可利用課余時(shí)間發(fā)動(dòng)學(xué)生尋找更多的推導(dǎo)公式的方法，并通過(guò)尋找多種推導(dǎo)公式的方法，鍛煉思維，培養(yǎng)能力．
7．本節(jié)學(xué)完以后學(xué)生可以解決很多較復(fù)雜、較綜合的問(wèn)題，如對(duì)稱問(wèn)題、直線系過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、光路最短與足球射門角度最大等最值問(wèn)題．教學(xué)中應(yīng)適當(dāng)安排一些這樣的內(nèi)容，以訓(xùn)練學(xué)生思維和培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．
教學(xué)設(shè)計(jì)方案
課題：點(diǎn)到直線的距離
教學(xué)目標(biāo)：（1）理解點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程.
�。�2）會(huì)求點(diǎn)到直線的距離.
（3）在探索點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)思路的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、積極探索的精神.
教學(xué)用具：計(jì)算機(jī)
教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)引導(dǎo)法，討論法
教學(xué)過(guò)程（325224.com）：
一、引入
點(diǎn)到直線的距離是指過(guò)點(diǎn) 作 的垂線， 與垂足 之間的長(zhǎng)度
【問(wèn)題1】已知點(diǎn) （-1，2）和直線 ： ，求 點(diǎn)到直線 的距離．
（由學(xué)生分析、解答）
分析：先求出過(guò) 點(diǎn)和 垂直的直線：
： ，再求出 和 的交點(diǎn)
∴
如果把問(wèn)題1一般化就有如下問(wèn)題：
【問(wèn)題2】已知： 和直線 ： （ 不在直線 上，且 ， ），試求 點(diǎn)到直線 的距離．
二、點(diǎn)到直線距離
分析1：要求 的長(zhǎng)度可以象問(wèn)題1的解法一樣，利用兩點(diǎn)的距離公式可以求 的長(zhǎng)度．
∵ 點(diǎn)坐標(biāo)已知，∴只要求出 點(diǎn)坐標(biāo)就可以了．
又∵ 點(diǎn)是直線 和直線 的交點(diǎn)
又∵直線 的方程已知
∴只要求出直線 的方程就可以了.
即： ← 點(diǎn)坐標(biāo)←直線 與直線 的交點(diǎn)←直線 的方程←直線 的斜率←直線 的斜率
�。ㄟ@一解法在課前由學(xué)生自學(xué)完成，課上進(jìn)行評(píng)價(jià)總結(jié)）
問(wèn)：這種解法好不好，為什么?
根據(jù)學(xué)生討論，教師適時(shí)啟發(fā)、引導(dǎo)，得出
分析2：如果 垂直坐標(biāo)軸，則交點(diǎn)和距離都容易求出，那么不妨做出與坐標(biāo)軸垂直的線段 和 ，如圖1所示，顯然相對(duì)而言 ，和 好求一些，事實(shí)上，設(shè) 到直線的距離為 ， 坐標(biāo)為 ， 坐標(biāo)為 ，則易求：
，
所以： ，
所以：
根據(jù)三角形面積公式：
所以： （至此問(wèn)題2已經(jīng)解決）
公式 的完善.
容易驗(yàn)證（由學(xué)生完成）：
當(dāng) ，即 軸時(shí)，公式成立；
當(dāng) ，即 軸時(shí)，公式成立；
當(dāng) 點(diǎn)在 上時(shí)，公式成立．
公式 結(jié)構(gòu)特點(diǎn)
師生一起總結(jié)：
�。�1）分子是 點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程；
（2）分母是直線未知數(shù) 、 系數(shù)平方和的算術(shù)根．
類似于勾股定理求斜邊的長(zhǎng)
三、檢測(cè)與鞏固
練習(xí)1
�。�1） 到直線 的距離是________．
�。�2） 到直線 的距離是_______．
�。�3）用公式解 到直線 的距離是______．
�。�4） 到直線 的距離是_________．
訂正答案：（1）5；（2）0；（3） ；（4） ．
練習(xí)2
1．求平行直線 和 的距離．
解：在直線 上任取一點(diǎn)，如 ，則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離．
因此， ＝ ＝
【問(wèn)題3】
兩條平行直線的距離是否有公式可以推出呢？求兩條平行直線 與 0的距離．
解：在直線上 任取一點(diǎn)，如
則兩平行線的距離就是點(diǎn) 到直線 的距離，（如圖2）．
因此， ＝ ＝
注意：用公式時(shí)，注意一次項(xiàng)系數(shù)是否一致．
四、小結(jié)作業(yè)
1、點(diǎn)到直線的距離公式及其推導(dǎo)；
師生一起總結(jié)點(diǎn)到直線距離公式的推導(dǎo)過(guò)程：
2、利用公式求點(diǎn)到直線的距離．
3、探索兩平行直線的距離
4、探索“已知點(diǎn)到直線的距離及一條直線求另一條直線距離．
作業(yè)：P54 13、14、16思考研究：運(yùn)用多種方法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式．
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