不等式的證明（三）

第四課時

教學目標

　　1．掌握分析法證明不等式；

　　2．理解分析法實質(zhì)——執(zhí)果索因；

　　3．提高證明不等式證法靈活性.

教學重點  分析法

教學難點  分析法實質(zhì)的理解

教學方法  啟發(fā)引導式

教學活動

　�。ㄒ唬�導入新課

　�。ń處熁顒樱┙處熖岢鰡栴}，待學生回答和思考后點評．

　　（學生活動）回答和思考教師提出的問題．

　�。蹎栴}1］我們已經(jīng)學習了哪幾種不等式的證明方法？什么是比較法？什么是綜合法？

　　［問題 2］能否用比較法或綜合法證明不等式：

　　[點評]在證明不等式時，若用比較法或綜合法難以下手時，可采用另一種證明方法：分析法．（板書課題）

　　設計意圖：復習已學證明不等式的方法．指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處，

激發(fā)學生學習新的證明不等式知識的積極性，導入本節(jié)課學習內(nèi)容：用分析法證明不等式．

　�。ǘ�）新課講授

　　【嘗試探索、建立新知】

　�。ń處熁顒樱┙處熤v解綜合法證明不等式的邏輯關系，然后提出問題供學生研究，并點評．幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系．投影分析法證明不等式的概念．

　�。▽W生活動）與教師一道分析綜合法的邏輯關系，在教師啟發(fā)、引導下嘗試探索，構建新知．

　　[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系：以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論，逐步尋找它成立的必要條件，直到必要條件就是要證明的不等式．

　�。蹎栴}1］我們能不能用同樣的思考問題的方式，把要證明的不等式作為結論，逐步去尋找它成立的充分條件呢？

　�。蹎栴}2］當我們尋找的充分條件已經(jīng)是成立的不等式時，說明了什么呢？

　�。蹎栴}3］說明要證明的不等式成立的理由是什么呢？

　�。埸c評］從要證明的結論入手，逆求使它成立的充分條件，直到充分條件顯然成立為止，從而得出要證明的結論成立．就是分析法的邏輯關系．

　　[投影]分析法證明不等式的概念．（見課本）

　　設計意圖：對比綜合法的邏輯關系，教師層層設置問題，激發(fā)學生積極思考、研究．建立新的知識；分析法證明不等式．培養(yǎng)學習創(chuàng)新意識．

　　【例題示范、學會應用】

　�。ń處熁顒樱┙處煱鍟�或投影例題，引導學生研究問題，構思證題方法，學會用分析法證明不等式，并點評用分析法證明不等式必須注意的問題．

　�。▽W生活動）學生在教師引導下，研究問題，與教師一道完成問題的論證．

　　例1　求證

　　[分析］此題用比較法和綜合法都很難入手，應考慮用分析法．

　　證明：（見課本）

　　[點評]證明某些含有根式的不等式時，用綜合法比較困難．此例中，我們很難想到從“ ”入手，因此，在不等式的證明中，分析法占有重要的位置，我們常用分析法探索證明途徑，然后用綜合法的形式寫出證明過程，這是解決數(shù)學問題的一種重要思維方法，事實上，有些綜合法的表述正是建立在分析法思索的基礎上，分析法的優(yōu)越性正體現(xiàn)在此．

　　例2　已知： ，求證： （用分析法）請思考下列證法有沒有錯誤？若有錯誤，錯在何處？

　�。弁队埃葑C法一：因為 ，所以 、去分母，化為 ，就是 ．由已知 成立，所以求證的不等式成立．

　　證法二：欲證 ，因為

            只需證 ，

            即證 ，

            即證

　　因為 成立，所以 成立．

　�。ㄗC法二正確，證法一錯誤．錯誤的原因是：雖然是從結論出發(fā)，但不是逐步逆戰(zhàn)結論成立的充分條件，事實上找到明顯成立的不等式是結論的必要條件，所以不符合分析法的邏輯原理，犯了邏輯上的錯誤．）

　　[點評]①用分析法證明不等式的邏輯關系是：

　�。ńY論）（步步尋找不等式成立的充分條件）（結論）

　　分析法是“執(zhí)果索因”，它與綜合法的證明過程（由因?qū)Ч�）恰恰相反．②用分析法證明時要注意書寫格式．分析法論證“若A則B”這個命題的書寫格式是：

　　要證命題B為真，

　　只需證明 為真，從而有……

　　這只需證明 為真，從而又有……

　　……

　　這只需證明A為真．

　　而已知A為真，故命題B必為真．

　　要理解上述格式中蘊含的邏輯關系．

　　[投影] 例3  證明：通過水管放水，當流速相同時，如果水管截面（指橫截面，下同）的周長相等，那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大．

　　［分析］設未知數(shù)，列方程，因為當水的流速相同時，水管的流量取決于水管截面面積的大小，設截面的周長為 ，則周長為 的圓的半徑為 ，截面積為 ；周長為 的正方形邊長為 ，截面積為 ，所以本題只需證明：

　　證明：（見課本）

　　設計意圖：理解分析法與綜合法的內(nèi)在聯(lián)系，說明分析法在證明不等式中的重要地位．掌

握分析法證明不等式，特別重視分析法證題格式及格式中蘊含的邏輯關系．靈活掌握分析法的應用，培養(yǎng)學生應用數(shù)學知識解決實際問題的能力．

　　【課堂練習】

　�。ń處熁顒樱┐虺鲎帜唬ň毩暎�，請甲、乙兩位同學板演，巡視學生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時糾正．點評練習中存在的問題．

　�。▽W生活動）在筆記本上完成練習，甲、乙兩位同學板演．

　　【字幕】練習1．求證

　　2．求證：

　　設計意圖：掌握用分析法證明不等式，反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學．

　　【分析歸納、小結解法】

　�。ń處熁顒樱┓治鰵w納例題和練習的解題過程，小給用分析法證明不等式的解題方法．

　�。▽W生活動）與教師一道分析歸納，小結解題方法，并記錄筆記．

　　1．分析法是證明不等式的一種常用基本方法．當證題不知從何入手時，有時可以運用分析法而獲得解決，特別是對于條件簡單而結論復雜的題目往往更是行之有效的．

　　2．用分析法證明不等式時，要正確運用不等式的性質(zhì)逆找充分條件，注意分析法的證題格式．

　　設計意圖：培養(yǎng)學生分析歸納問題的能力，掌握分析法證明不等式的方法．

　　（三）小結

　�。ń處熁顒樱┙處熜〗Y本節(jié)課所學的知識．

　�。▽W生活動）與教師一道小結，并記錄筆記．

　　本節(jié)課主要學習了用分析法證明不等式．應用分析法證明不等式時，掌握一些常用技巧：

通分、約分、多項式乘法、因式分解、去分母，兩邊乘方、開方等．在使用這些技巧變形時，要注意遵循不等式的性質(zhì)．另外還要適當掌握指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)、三角公式在逆推中的靈活運用．理解分析法和綜合法是對立統(tǒng)一的兩個方面．有時可以用分析法思索，而用綜合法書寫證明，或者分析法、綜合法相結合，共同完成證明過程．

　　設計意圖：培養(yǎng)學生對所學知識進行概括歸納的能力，鞏固所學知識．

　�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)

　　1．課本作業(yè)：P17  4、5．

　　2．思考題：若 ，求證

　　3．研究性題：已知函數(shù) ， ，若 、 ，且 證明

　　 設計意圖：思考題供學有余力同學練習，研究性題供學生研究分析法證明有關問題．

    （五）課后點評

　　教學過程（325224.com）是不斷發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的思維過程．本節(jié)課在形成分析法證明不等式認知結構中，教師提出問題或引導學生發(fā)現(xiàn)問題，然后開拓學生思路，啟迪學生智慧，求得問題解決．一個問題解決后，及時地提出新問題，提高學生的思維層次，逐步由特殊到一般，由具體到抽象，由表面到本質(zhì)，把學生的思維步步引向深入，直到完成本節(jié)課的教學任務．總之，本節(jié)課的教學安排是讓學生的思維由問題開始，到問題深化，始終處于積極主動狀態(tài)．

　　本節(jié)課練中有講，講中有練，講練結合．在講與練的互相作用下，使學生的思維逐步深化．教師提出的問題和例題，先由學生自己研究，然后教師分析與概括．在教師講解中，又不斷讓學生練習，力求在練習中加深理解，盡量改變課堂上教師包括辦代替的做法．

　　在安排本節(jié)課教學內(nèi)容時，按認識規(guī)律，由淺入深，由易及難，逐漸展開教學內(nèi)容，讓學生形成有序的知識結構．

　　作業(yè)答案：

　　思考題：

．因為 ，故 ，所以 成立．

　　研究性題：令 ， ，則：

， ，

故原不等式等價于

　　由已知有 ． 。所以上式等價于 ，即 。所以又等價于 ．因為 ，上式成立，所以原不等式成立。                                           

 

不等式的實際解釋

　　題目：不等式： 是正數(shù)，且 ，則 �？梢越o出一個具有實際背景的解釋：在溶液里加溶質(zhì)則濃度增加，即 個單位溶液中含有 個單位的溶質(zhì)，其濃度小于加入 個單位溶質(zhì)后的溶液濃度，請你仿照此例，給出兩個不等式的解釋。

　　分析與解

　　1．先看問題中的不等式，建筑學規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標準，窗戶面積與地板面積的比值應不小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好。我們知道如果同時增加相等的窗戶面積和地板面積，那么住宅的條件變好。

　　設地板面積為 平方米，窗戶面積為 平方米，若窗戶面積和地板面積同時增加相等的 平方米，住宅的采光條件變好了，即有

　　2． 是正數(shù)，不等式 可以推出 ，我們可以用混合溶液來解釋：兩個不同濃度的溶液混合后，其濃度介于混合前兩溶液濃度之間。

　　3．電阻串并聯(lián)。電阻值為 、 的電阻，串聯(lián)電阻為 ，并聯(lián)電阻為 ，串聯(lián)電阻變大，并聯(lián)電阻變小，因此有不等式 ，即

　　說明 許多數(shù)學結論是由實際問題抽象為數(shù)學問題后，通過數(shù)學的運算演變得到的。反過來，把抽象的數(shù)學結論還原為實際解釋也是一種數(shù)學運用，值得大家關注。

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