三角形面積的分析及教學(xué)基本思路

一
    長方形，正方形，平行四邊形，三角形和梯形，都是由三條或三條以上的線段，首尾順序相接而組成的封 閉圖形。它們相互之間不僅在特征上有著密切的聯(lián)系而且在推導(dǎo)面積計算公式的過程中也有著密切的聯(lián)系。三 角形面積計算公式的教學(xué)是在學(xué)生掌握了長方形，正方形，平行四邊形的特征和面積計算的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。學(xué) 生掌握了三角形面積的計算方法和獲取這些知識的能力又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)梯形面積、圓的面積打下了良好的基礎(chǔ) 。
    一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，要從知識、能力、思想品德教育三方面進(jìn)行考慮，以體現(xiàn)學(xué)科教學(xué)中的素質(zhì)教育思想 。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：
    （1）使學(xué)生理解、掌握三角形面積的計算公式， 并能運(yùn)用它正確計算三角形的面積；
    （2）通過指導(dǎo)實際操作， 培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和思維的創(chuàng)造性；
    （3）使學(xué)生明白事物之間是相互聯(lián)系、可以轉(zhuǎn)化和變換的。
    完成這一教學(xué)目標(biāo)，要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實踐活動的過程中，把動手操作與動腦思考 、動口表述結(jié)合起來。也就是說，首先把學(xué)習(xí)知識應(yīng)有的思維活動“外化”為動手操作，然后通過這個“外化 ”的活動再“內(nèi)化”為思維活動。因此在教學(xué)過程中，把操作、思維、表述緊密結(jié)合起來，才能完成這一教學(xué) 目標(biāo)。
    本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是理解、掌握三角形面積的計算公式。
    教學(xué)難點(diǎn)是理解面積公式的算理。
    華羅庚說過，“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來�！币�培養(yǎng)學(xué)生的 空間觀念和創(chuàng)造能力，就必須重視推導(dǎo)公式的過程教學(xué)，從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)組織學(xué)生去大膽地操作實踐， 探求規(guī)律，推導(dǎo)出公式。
    二
    學(xué)生掌握新知識的過程是在老師的引導(dǎo)下，充分利用已有知識和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，積極主動地參與探求的過程。 把教材的間接經(jīng)驗通過自身的活動去重新發(fā)現(xiàn)、完善和建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
    1.抓住新知識的基礎(chǔ)，做好學(xué)習(xí)新知識的準(zhǔn)備
    學(xué)習(xí)新知識的基礎(chǔ)是選取復(fù)習(xí)內(nèi)容的依據(jù)，新舊知識的連接點(diǎn)是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。三角形面積這個新知識的基 礎(chǔ)是長方形、正方形、平行四邊形的面積公式及三角形底和高的認(rèn)識。新舊知識的連接點(diǎn)是圖形的轉(zhuǎn)化和變換 。在教學(xué)新知識之前除了要復(fù)習(xí)好以上的內(nèi)容外，還要指導(dǎo)學(xué)生回憶平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程，喚起“ 轉(zhuǎn)化圖形、建立聯(lián)系、推導(dǎo)公式”的學(xué)習(xí)方法的認(rèn)識。為新知識的學(xué)習(xí)做好知識的、能力的以至情感方面的準(zhǔn) 備。
    2.新知識的教學(xué)可以分為4個層次進(jìn)行
    第一層，操作學(xué)具。啟發(fā)學(xué)生用學(xué)具袋中的兩個三角形拼成一個學(xué)過的圖形。學(xué)生動手、動腦相互交流， 得出“兩個完全一樣的（全等）三角形，可以拼成一個長方形、正方形或平行四邊形。
    第二層，觀察與思考。提出問題引導(dǎo)學(xué)生觀察拼成的正方形、長方形或平行四邊形與三角形的關(guān)系。三角 形的底和高與正方形的邊長、長方形的長與寬，以及平行四邊形底和高的關(guān)系？
    第三層，推導(dǎo)公式。利用圖形之間各部分的對應(yīng)關(guān)系，思考它們面積之間的關(guān)系，最終推導(dǎo)出：因為，平 行四邊形面積＝底×高（平行四邊形的面積是兩個與它等底等高的三角形面積的2倍），所以， 三角形的面積 ＝底×高÷2
    第四層，深化認(rèn)識。
    為了使學(xué)生加深對三角形面積計算公式的理解，進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生，用一個三角形通過割補(bǔ)的辦法推導(dǎo)出三 角形的面積計算公式。學(xué)生再次動手，動腦，相互交流，得出（如下圖）如下計算公式：
    （附圖 {圖}）
    三角形面積＝底×（高÷2）
    三角形面積＝（底÷2）×高
    經(jīng)過學(xué)生兩次動手、動腦、交流，運(yùn)用轉(zhuǎn)化和變換多向探索，把求三角形面積這一探索過程充分展示出來 。不僅深化了對公式的理解而且滲透了轉(zhuǎn)化和變換的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)了學(xué)生操作能力和分析概括的能力，發(fā)展 了學(xué)生的空間觀念。
    3.新知識教學(xué)后要及時組織練習(xí)。
    練習(xí)可從4個方面進(jìn)行�？诖痤}（理解算理的練習(xí)），（1）已知圖形的底和高，可以求出這個圖形的面積 。那么，這個圖形可能是什么形？這些圖形之間有什么共同點(diǎn)？面積有什么關(guān)系？（2 ）三角形面積等于平行 四邊形面積的一半。對不對？為什么？看圖口算（運(yùn)用公式計算的練習(xí)）。下圖中哪個三角形的面積可以用6× 5÷2求出， 為什么（選擇條件的練習(xí)）？
    （附圖 {圖}）
    已知三角形的面積是15平方厘米，高是5厘米。求它的底？如下圖， 在一個正方形和一個長方形中，有一 個三角形（陰影部分），求三角形的面積（靈活運(yùn)用知識的練習(xí)）。
    （附圖 {圖}）
    新課后的練習(xí)一定要練在重點(diǎn)上和關(guān)鍵處，以加深學(xué)生對新知識的認(rèn)識和提高運(yùn)用知識的能力。
    三
    本節(jié)教學(xué)設(shè)計的基本思路是：
    （1）發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，同時要為學(xué)生創(chuàng)造主動的發(fā)展空間，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造性地參與教學(xué)的全過程。通 過操作，觀察， 推導(dǎo)和深化4個教學(xué)層次，使學(xué)生不僅在理解的基礎(chǔ)上掌握新知識，而且進(jìn)一步體會運(yùn)用舊知 識去研究新問題的學(xué)習(xí)方法，從“學(xué)會”逐步到“會學(xué)”，尋找到解決問題的正確方法。
    （2）在教學(xué)過程中，有目的的不失時機(jī)地培養(yǎng)學(xué)生操作能力， 觀察能力，分析推理的能力。使課堂教學(xué) 的過程成為既傳授知識又培養(yǎng)能力的過程。
    附 三角形面積教案
    一、教學(xué)內(nèi)容：三角形的面積
    二、教學(xué)目標(biāo)：
    1.使學(xué)生理解、掌握三角形面積計算公式，并能運(yùn)用它正確計算三角形的面積；
    2.通過指導(dǎo)實際操作，培養(yǎng)學(xué)生抽象、概括能力和思維的創(chuàng)造性，發(fā)展空間觀念；
    3.使學(xué)生明白事物之間是相互聯(lián)系，可以轉(zhuǎn)化和變換的。
    三、教學(xué)過程：
    （一）復(fù)習(xí)引入
    1.出示平行四邊形，復(fù)習(xí)它的計算公式。
    2.投影銳角三角形，直角三角形，鈍角三角形，看圖辨識三角形各條邊上的高？
    師：我們已經(jīng)掌握了長方形、正方形、平行四邊形面積的計算方法，那么怎樣計算三角形的面積呢？這節(jié) 課我們就來解決這個問題。
    （二）新授
    1.操作學(xué)具。
    師：你能用學(xué)具袋中的兩個三角形拼成一個熟知的平面圖形嗎？
    學(xué)生拿出學(xué)具動手操作拼成一個學(xué)過的圖形。
    （附圖 {圖}）
    出示學(xué)生拼出的圖形。
    2.觀察與思考。
    師提出問題引導(dǎo)學(xué)生觀察：①用兩個什么樣的三角形才能拼成一個學(xué)過的平面圖形？②平行四邊形、長方 形、正方形的面積與三角形的面積有什么關(guān)系？為什么？③三角形的底和高與平行四邊形的底和高有什么關(guān)系 ？與長方形的長和寬有什么關(guān)系？與正方形的邊長有什么關(guān)系？
    學(xué)生觀察、討論、相互交流、弄清楚面積關(guān)系以及底、高之間的關(guān)系。
    師小結(jié)板書：
    平行四邊形面積＝底×高
    長方形面積＝長×寬
    正方形面積＝邊長×邊長
    2個三角形面積＝底×高
    三角形面積＝底×高÷2
    3.推導(dǎo)公式。
    （1）怎么求平行四邊形的面積？長方形面積？正方形面積？
    （2）平行四邊形面積，長方形面積， 正方形面積都是由幾個完全一樣的三角形組成的？
    （3）怎么求一個三角形的面積？
    師隨著完成上面的板書并引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)：怎么求三角形面積？為什么？
    4.深化認(rèn)識。
    師啟發(fā)回憶
    （附圖 {圖}）
    學(xué)習(xí)平行四邊形面積時，我們運(yùn)用割補(bǔ)的辦法把平行四邊形轉(zhuǎn)化成了長方形，那么運(yùn)用割補(bǔ)的辦法能不能 把一個三角形轉(zhuǎn)化成一個平行四邊形或長方形呢？
    學(xué)生動手操作、研究、討論、相互交流，教師輔導(dǎo)提示，得出下圖。
    （附圖 {圖}）
    積＝底×高的一半 三角形面積＝底的一半×高
    ＝底×高÷2 ＝底×高÷2
    （1）說一說你是怎么割補(bǔ)的？
    （2）議一議平行四邊形的面積、 長方形面積與三角形面積的關(guān)系，平行四邊形的底和高，長方形的長和 寬與三角形底和高的關(guān)系？得出什么結(jié)論？
    （3）師整理公式（完成上面的板書）
    （4）師總結(jié)：三角形面積等于底乘以高除以2。（板書字母公式：S＝ah÷2），可以理解為底×高乘積的 一半，也可以理解為底×高的一半，還可以理解為底的一半×高。
    四、鞏固練習(xí)
    （一）理解性練習(xí)（口答）
    1.三角形的底乘以高得到的是什么圖形的面積？再怎么求才能得到三角形面積？
    2.三角形面積等于平行四邊形面積的一半；對不對？為什么？
    （二）運(yùn)用公式的練習(xí)（口答列式）
    （附圖 {圖}）
    （三）選擇條件的練習(xí)
    （附圖 {圖}）
    哪個三角形的面積等于6×5÷2？其它兩個為什么不是？
    （四）靈活運(yùn)用知識的練習(xí)
    已知：（如右圖）正方形和一個長方形求陰影面積？
    （附圖 {圖}）
    五、全課總結(jié)

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