與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)題的統(tǒng)一解題技巧分析

　　與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)題的統(tǒng)一解題技巧分析
　　
　　與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)題是各省市檢測和高考年年必考的題目，形式層出不窮，絕大多數(shù)還是區(qū)分度頗高的壓軸題。許多中上水平的考生往往處理完第一問后，對(duì)第二、三問或是匆忙求導(dǎo)眼到手不到形成一堆爛賬，或是寫了一堆解答過程發(fā)現(xiàn)走進(jìn)死胡同再出來，這樣做的結(jié)果往往是得分較低，浪費(fèi)時(shí)間，長此以往對(duì)科學(xué)備考的負(fù)面影響較大。究其原因，很多考生表現(xiàn)為不知道自己“起步”錯(cuò)誤，具體來說就是對(duì)哪個(gè)函數(shù)求導(dǎo)不明確，或?yàn)槭裁匆獦?gòu)造新函數(shù)F （x）和如何構(gòu)造函數(shù)F （x）不明確。本文結(jié)合近兩年的高考題，就解答與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的區(qū)分度頗高的函數(shù)題，如何走好“動(dòng)一發(fā)而系全身”的第一步，談如何構(gòu)造函數(shù)F （x），給出程序化的構(gòu)建模式，以達(dá)到“好的開始是成功的一半”的目的。
　　
　　一、與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)題概述
　　
　　與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的區(qū)分度頗高的函數(shù)題主要包括：討論含參（一元參數(shù)或二元參數(shù)）方程根的個(gè)數(shù)與范圍，含參（一元參數(shù)或二元參數(shù)）不等式的證明，求含參函數(shù)的最值或單調(diào)區(qū)間，含參（一元參數(shù)或二元參數(shù)）不等式恒成立時(shí)已知含參函數(shù)的最值或單調(diào)區(qū)間求某參數(shù)的范圍，已知含參（一元參數(shù)或二元參數(shù)）方程根的個(gè)數(shù)和范圍求某參數(shù)的范圍等。題目形式雖然千變?nèi)f化、層出不窮，但本質(zhì)上就是一道題。本文為使問題說明得更加方便，不妨以 f（x）≥g（x）的形式來說明。
　　
　　二、程序化構(gòu)造函數(shù)F （x）的統(tǒng)一模式
　　
　　1.直接法：令F （x）= f（x）-g（x）。
　　
　　2.化積法：若 f（x）-g（x）=h（x）k（x），且h（x）≥0,令F （x）= k（x）。
　　
　　3.伸縮法：若 f（x）≥ f1（x），則令F （x）= f1（x）-g（x），其中，f1（x）通�？捎墒煜さ牟坏仁交蚯耙粏栔械慕Y(jié)論得出。
　　
　　4.控元法：含參問題若已給出參數(shù)k的范圍，由單調(diào)性控元、消元、消參，構(gòu)建F （x）（F （x）不含參數(shù)）。
　　
　　5.分離變量法：若能分離出變量k≥k（x），則令F （x）=k（x）。
　　
　　三、程序化構(gòu)造函數(shù)F （x）的統(tǒng)一模式在高考題中的運(yùn)用
　　
　　例1 （2013年高考新課標(biāo)全國Ⅱ卷理科卷第21題）已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+m）。
　　
　�。á瘢┰O(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m,并討論 f（x）的單調(diào)性。
　　
　�。á颍┊�(dāng)m≤2時(shí)，證明f（x）>0.
　　
　�。á瘢┙猓簃=1. f（x）在（-1,0）上單調(diào)遞減，在（0,+∞）上單調(diào)遞增。（解答過程省略）
　　
　　（Ⅱ）證明：當(dāng)m≤2,x∈（-m,+∞）時(shí)，ln（x+2）≥ln（x+m）。記F （x）=ex-ln（x+2），則F ′（x）=ex- .
　　
　　∵F ′′（x）=ex+ >0,∴F ′（x）在（-2,+∞）上單調(diào)遞增。
　　
　　∵F ′（0）=1- >0,F ′（-1）= -1<0,即 = ,x0=-ln（x0+2），∴F （x0）= -ln（x0+2）= +x0= >0.
　　
　　當(dāng)x∈（-2,x0）時(shí)，F(xiàn) ′（x）<0,此時(shí)函數(shù)F （x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x0,+∞）時(shí)，F(xiàn) ′（x）>0,此時(shí)函數(shù)F （x）單調(diào)遞增。
　　
　　∴ f（x）≥F （x）≥F min（x）=F （x0）>0.
　　
　　小結(jié) 本題是一道含參不等式的證明題，考生若不假思索地直接采用構(gòu)造F （x）=左-右，則在求F ′（x）=0時(shí)會(huì)走進(jìn)死胡同。問題出在含參，因此應(yīng)該控元，將兩個(gè)變量變?yōu)橐粋�(gè)變量，使其常態(tài)化。
　　
　　例2 （2012年高考山東理科卷第22題）已知函數(shù)f（x）= （k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），曲線y= f（x）在點(diǎn)（1,f（1））處的切線與x軸平行。
　　
　�。á瘢┣髃的值。
　　
　�。á颍┣� f（x）的單調(diào)區(qū)間。
　　
　�。á螅┰O(shè)g（x）=（x2+x） f ′（x），其中 f ′（x）為 f （x）的導(dǎo)函數(shù)。證明：對(duì)任意x>0,g（x）<1+e-2.
　　
　�。á瘢┙猓簁=1.（解答過程省略）
　　
　�。á颍┙猓汉瘮�(shù) f（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+∞）上單調(diào)遞減。（解答過程省略）
　　
　　（Ⅲ）證明：g（x）=（x2+x）· =（1+x）· .
　　
　　欲證g（x）<1+e-2,即證1-x（ln x+1）< （1+e-2）。①
　　
　　令F 1（x）=1-x（ln x+1），則F （x）=-ln x-2.令F （x）=0,得ln x =-2,∴x = e- 2∈（0,+∞）。
　　
　　當(dāng)x∈（0,e- 2）時(shí)，F(xiàn) （x）>0,此時(shí)F 1（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（e- 2,+∞）時(shí)，F(xiàn) （x）<0,此時(shí)F 1（x）單調(diào)遞減。∴F 1max（x）=F1 （e- 2）=1+e- 2.
　　
　　令F 2（x）= .∵F （x）= = > 0,∴F 2（x）在（0,+∞）上單調(diào)遞增�！郌 2（x）>F 2（0）=1.∴不等式①得證�！� g（x）<1+e- 2（x>0）。
　　
　　小結(jié) 如何構(gòu)造函數(shù)F（x），關(guān)鍵在于F ′（x）=0是否易求（或易估）。若直接求g（x），則g′（x）=0的求解將陷入泥潭。
　　
　　例3 （2012年高考遼寧理科卷第21題）設(shè)f（x）=ln（x+1）+ +ax+b（a,b∈R,a,b為常數(shù)），曲線y= f（x）與直線y= x在（0,0）點(diǎn)相切。
　　
　�。á瘢┣骯,b的值。
　　
　�。á颍┳C明：當(dāng)0  （Ⅰ）解：a=0,b=-1.（解答過程省略）
　　
　�。á颍┳C明：由（Ⅰ）知f（x）=ln（x+1）+ -1.
　　
　　∵ < （0  構(gòu)造F （x）=ln（x+1）+ - ,則F ′（x）= + - = .
　　
　　當(dāng)x∈（0,2）時(shí)，∵x2+15x-36<0,∴F ′（x）<0.∴F （x）單調(diào)遞減。∴F （x）  ∴l(xiāng)n（x+1）+ < .∴l(xiāng)n（x+1）+ -1< ,即f（x）< .
　　
　　小結(jié) 本題若直接對(duì)f（x）求導(dǎo)，則會(huì)在計(jì)算f ′（x）=0時(shí)碰壁。原因在于對(duì) 求導(dǎo)時(shí)，既有根式又有分式，而ln（x+1）的導(dǎo)數(shù)僅有分式，使得在求f ′（x）=0時(shí)眼到手不到。
　　
　�。ㄗ髡邌挝唬簭B門工商旅游學(xué)校；廈門英才學(xué)校）
　　
　　（責(zé)任編校/周峰）
　　
　　《高中生》·高考網(wǎng)助你解答函數(shù)壓軸題有一個(gè)好的開始——
　　
　　《利用二次求導(dǎo)巧解高考函數(shù)壓軸題》
　　
　　隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識(shí)考查的要求逐漸加強(qiáng)，現(xiàn)在已由前幾年高考只在解決問題中起輔助作用，上升為分析與解決問題時(shí)不可缺少的工具。

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