函數(shù)

教學目標

　　1．理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)的三種表示法，會求函數(shù)的定義域．

　�。�1）了解函數(shù)是特殊的映射，是非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射．能理解函數(shù)是由定義域，值域，對應法則三要素構成的整體．

　�。�2）能正確認識和使用函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法，和圖象法．了解每種方法的優(yōu)點．

　　（3）能正確使用“區(qū)間”及相關符號，能正確求解各類函數(shù)的定義域．

　　2．通過函數(shù)概念的學習，使學生在符號表示，運算等方面的能力有所提高．

　�。�1）對函數(shù)記號 有正確的理解，準確把握其含義，了解 ( 為常數(shù))與 的區(qū)別與聯(lián)系；

　�。�2）在求函數(shù)定義域中注意運算的合理性與簡潔性．

　　3．通過函數(shù)定義由變量觀點向映射觀點的過渡，是學生能從發(fā)展的角度看待數(shù)學的學習．

 

教學建議

1．教材分析

　�。�1）知識結構

　�。�2）重點難點分析

　　本小節(jié)的重點是在映射的基礎上理解函數(shù)的概念．，主要包括對函數(shù)的定義，表示法，三要素的作用的理解與認識．教學難點是函數(shù)的定義和函數(shù)符號的認識與使用．

　�、儆捎趯W生在初中已學習了函數(shù)的變量觀點下的定義，并具體研究了幾類最簡單的函數(shù)，對函數(shù)并不陌生，所以在高中重新定義函數(shù)時，重要的是讓學生認識到它的優(yōu)越性，它從根本上揭示了函數(shù)的本質，由定義域，值域，對應法則三要素構成的整體，讓學生能主動將函數(shù)與函數(shù)解析式區(qū)分開來．對這一點的認識對于后面函數(shù)的性質的研究都有很大的幫助．

　　②在本節(jié)中首次引入了抽象的函數(shù)符號 ，學生往往只接受具體的函數(shù)解析式，而不能接受 ，所以應讓學生從符號的含義認識開始，在符號中， 在法則 下對應 ，不是 與 的乘積，符號本身就是三要素的體現(xiàn)．由于 所代表的對應法則不一定能用解析式表示，故函數(shù)表示的方法除了解析法以外，還有列表法和圖象法．此外 本身還指明了誰是誰的函數(shù)，有利于我們分清函數(shù)解析式中的常量與變量．如 ，它應表示以 為自變量的二次函數(shù)，而如果寫成 ，則我們就不能準確了解誰是變量，誰是常量，當 為變量時，它就不代表二次函數(shù)．

2．教法建議

　　（1）高中對函數(shù)內容的學習是初中函數(shù)內容的深化和延伸．深化首先體現(xiàn)在函數(shù)的定義更具一般性．故教學中可以讓學生舉出自己熟悉的函數(shù)例子，并用變量觀點加以解釋，教師再給出如： 是不是函數(shù)的問題，用變量定義解釋顯得很勉強，而如果從集合與映射的觀點來解釋就十分自然，所以有重新認識函數(shù)的必要．

　�。�2）對函數(shù)是三要素構成的整體的認識，一方面可以通過對符號 的了解與使用來強化，另一方面也可通過判斷兩個函數(shù)是否相同來配合．在這類題目中，可以進一步體現(xiàn)出三要素整體的作用．

　�。�3）關于對分段函數(shù)的認識，首先它的出現(xiàn)是一種需要，可以給出一些實際的例子來說明這一點，對自變量不同取值，用不同的解析式表示同一個函數(shù)關系，所以是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù)，其次還可以舉一些數(shù)學的例子如 這樣的函數(shù)，若利用絕對值的定義它就可以寫成 ，這就是一個分段函數(shù)，從這個題中也可以看出分段函數(shù)是一個函數(shù)．

教學設計方案

2.2 函數(shù)

教學目標：

　　1．理解函數(shù)的概念，了解函數(shù)三要素．

　　2．通過對函數(shù)抽象符號的認識與使用，使學生在符號表示方面的能力得以提高．

　　3．通過函數(shù)定義由變量觀點向映射觀點得過渡，使學生能從發(fā)展與聯(lián)系的角度看待數(shù)學學習．

教學重點難點：重點是在映射的基礎上理解函數(shù)的概念；

 　　　　　　　難點是對函數(shù)抽象符號的認識與使用．

教學用具：投影儀

教學方法：自學研究與啟發(fā)討論式．

教學過程：

一、復習與引入

　　今天我們研究的內容是函數(shù)的概念．函數(shù)并不象前面學習的集合，映射一樣我們一無所知，而是比較熟悉，所以我先找同學說說對函數(shù)的認識，如函數(shù)是什么?學過什么函數(shù)?

　　(要求學生盡量用自己的話描述初中函數(shù)的定義，并試舉出各類學過的函數(shù)例子)

　　學生舉出如 等，待學生說完定義后教師打出投影片，給出定義之后教師也舉一個例子，問學生．

　　提問1． 是函數(shù)嗎?

　　(由學生討論，發(fā)表各自的意見，有的認為它不是函數(shù)，理由是沒有兩個變量，也有的認為是函數(shù)，理由是可以可做 ．)

　　教師由此指出我們爭論的焦點，其實就是函數(shù)定義的不完善的地方，這也正是我們今天研究函數(shù)定義的必要性，新的定義將在與原定義不相違背的基礎上從更高的觀點，將它完善與深化．

二、新課

　　現(xiàn)在請同學們打開書翻到第50 頁，從這開始閱讀有關的內容，再回答我的問題．(約2-3分鐘或開始提問)

　　提問2．新的函數(shù)的定義是什么?能否用最簡單的語言來概括一下．

　　學生的回答往往是把書上的定義念一遍，教師可以板書的形式寫出定義，但還要引導形式發(fā)現(xiàn)定義的本質．

　　(板書)2．2函數(shù)

一、函數(shù)的概念

　　1．定義：如果A，B都是非空的數(shù)集，那么A到B的映射 就叫做A到B的函數(shù)，記作 ．其中原象集合A稱為定義域，象集C 稱為值域．

　　問題3：映射與函數(shù)有何關系?(函數(shù)一定是映射嗎?映射一定是函數(shù)嗎?)

　　引導學生發(fā)現(xiàn)，函數(shù)是特殊的映射，特殊在集合A，B必是非空的數(shù)集．

　　2．本質：函數(shù)是非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射．(板書)

　　然后讓學生試回答剛才關于 是不是函數(shù)的問題，要求從映射的角度解釋．

　　此時學生可以清楚的看到 滿足映射觀點下的函數(shù)定義，故是一個函數(shù)，這樣解釋就很自然．

　　教師繼續(xù)把問題引向深入，提出在映射的觀點下如何解釋 是個函數(shù)?

　　從映射角度看可以是 其中定義域是 ，值域是 ．

　　從剛才的分析可以看出，映射觀點下的函數(shù)定義更具一般性，更能揭示函數(shù)的本質．這也是我們后面要對函數(shù)進行理論研究的一種需要．所以我們著重從映射角度再來認識函數(shù)．

　　3．函數(shù)的三要素及其作用(板書)

　　函數(shù)是映射，自然是由三件事構成的一個整體，分別稱為定義域．值域和對應法則．當我們認識一個函數(shù)時，應從這三方面去了解認識它．

　　例1 以下關系式表示函數(shù)嗎?為什么?

　　(1) ；         (2) ．

　　解：(1)由 有意義得 ，解得 ．由于定義域是空集，故它不能表示函數(shù)．

　　(2) 由 有意義得 ，解得 ．定義域為 ，值域為 ．

　　由以上兩題可以看出三要素的作用

　　(1)判斷一個函數(shù)關系是否存在．(板書)

　　例2 下列各函數(shù)中，哪一個函數(shù)與 是同一個函數(shù)．

　　(1) ；  (2)   (3) ；  (4) ．

　　解：先認清 ，它是 (定義域)到 (值域)的映射，其中

　　  ．

　　再看(1)定義域為 且 ，是不同的；   (2)定義域為 ，是不同的；

　　(4) ，法則是不同的；

　　而(3)定義域是 ，值域是 ，法則是乘2減1，與 完全相同．

　　求解后要求學生明確判斷兩個函數(shù)是否相同應看定義域和對應法則完全一致，這時三要素的又一作用．

　　(2)判斷兩個函數(shù)是否相同．（板書）

　　下面我們研究一下如何表示函數(shù)，以前我們學習時雖然會表示函數(shù)，但沒有相系統(tǒng)研究函數(shù)的表示法，其實表示法有很多，不過首先應從函數(shù)記號 說起．

　　4．對函數(shù)符號 的理解(板書)

　　首先讓學生知道 與 的含義是一樣的，它們都表示 是 的函數(shù)，其中 是自變量， 是函數(shù)值，連接的紐帶是法則 ，所以這個符號本身也說明函數(shù)是三要素構成的整體．下面我們舉例說明．

　　例3 已知函數(shù) 試求 (板書)

　　分析：首先讓學生認清 的含義，要求學生能從變量觀點和映射觀點解釋，再進行計算．

　　含義1：當自變量 取3時，對應的函數(shù)值即 ；

　　含義2：定義域中原象3的象 ，根據(jù)求象的方法知 ．而 應表示原象 的象，即 ．

　　計算之后，要求學生了解 與 的區(qū)別， 是常量，而 是變量， 只是 中一個特殊值．

　　最后指出在剛才的題目中 是用一個具體的解析式表示的，而以后研究的函數(shù) 不一定能用一個解析式表示，此時我們需要用其他的方法表示，具體的方法下節(jié)課再進一步研究．

三、小結

　　1. 函數(shù)的定義

　　2. 對函數(shù)三要素的認識

　　3. 對函數(shù)符號的認識

四、作業(yè)：略

五、板書設計

2．2函數(shù)                    例1．　　　　例3．

一. 函數(shù)的概念

　　1. 定義

　　2. 本質                  例2．　　小結：

　　3. 函數(shù)三要素的認識及作用

　　4. 對函數(shù)符號的理解          

   

探究活動

　　函數(shù)在數(shù)學及實際生活中有著廣泛的應用，在我們身邊就存在著很多與函數(shù)有關的問題如在我們身邊就有不少分段函數(shù)的實例，下面就是一個生活中的分段函數(shù)．
　　夏天，大家都喜歡吃西瓜，而西瓜的價格往往與西瓜的重量相關．某人到一個水果店去買西瓜，價格表上寫的是：6斤以下，每斤0．4元．6斤以上9斤以下，每斤0．5元，9斤以上，每斤0．6元．此人挑了一個西瓜，稱重后店主說5元1角，1角就不要了，給5元吧，可這位聰明的顧客馬上說，你不僅沒少要，反而多收了我錢，當顧客講出理由，店主只好承認了錯誤，照實收了錢．
同學們，你知道顧客是怎樣店主坑人了呢?其實這樣的數(shù)學問題在我們身邊有很多，只要你注意觀察，積累，并學以至用，就能成為一個聰明人，因為數(shù)學可以使人聰明起來．

答案：
　　若西瓜重9斤以下則最多應付4.5元,若西瓜重9斤以上,則最少也要5.4元,不可能出現(xiàn)5.1元這樣的價錢,所以店主坑人了．

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