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運(yùn)用等價變形題指導(dǎo)學(xué)生解題
有些數(shù)學(xué)應(yīng)用題，因?yàn)閿?shù)量關(guān)系較為復(fù)雜，學(xué)生會感到無從下手，這時，老師可運(yùn)用非等價變形引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析并解答。
例1、一個面積為20平方厘米的正方形內(nèi)有一個最大的圓，求這個圓的面積是多少？
分析與解答：這題中正方形的面積是個非完全平方數(shù)，如果要讓學(xué)生求出圓的半徑，然后再求出這個圓的面積學(xué)生是無從下手的。
因此可先出示這樣一道比較題：“已知一個面積為1平方厘米的正方形內(nèi)有一個面積最大的圓，求這個圓的面積�！�
因?yàn)檎叫蔚拿娣e是1平方厘米，學(xué)生很快能理解這個正方形的邊長即為1厘米，因此面積為1平方厘米的正方形內(nèi)面積最大的圓的面積為：3.14×(1÷2)2＝0.785（平方厘米）。
在學(xué)生求解出面積為1平方厘米的正方形內(nèi)面積最大的圓的面積后，老師可再將此題同例1進(jìn)行比較，這樣學(xué)生就能很快求出面積為20平方厘米的正方形內(nèi)面積最大的圓的面積為：0.785×20＝15.7（平方厘米）。
例2、某校上學(xué)期共有學(xué)生1040人，本學(xué)期有學(xué)生1360人，其中男生比上學(xué)期增加48%，女生比上學(xué)期增加20%，求這所學(xué)校本學(xué)期有男女生各多少人？
分析與解答：這題中兩個百分率無直接關(guān)系，因此給解題帶來了一定的難度。
因此可先出示這樣一道比較題：“某校上學(xué)期共有學(xué)生1040人，本學(xué)期男女生都比上學(xué)期增加了20%，求本學(xué)期這所學(xué)校共有多少人？”
這題學(xué)生很快能求出答案：本學(xué)期學(xué)校有學(xué)生：1040×（1＋20%）＝1248（人）。
然后再將這題同原來的題目進(jìn)行比較，學(xué)生可發(fā)現(xiàn)“男女生都比上學(xué)期增加了20%”與原題的“男生比上學(xué)期增加48%，女生比上學(xué)期增加20%”相差的人數(shù)則為：1360－1248＝112（人）。因此可求得，上學(xué)期的男生人數(shù)應(yīng)為：112÷（48%－20%）＝400（人），本學(xué)期的男生人數(shù)則為：400×（1＋48%）＝592（人）。本學(xué)期的女生人數(shù)則為：1360－592＝768（人）。
例3、某校學(xué)生步行去進(jìn)行郊游活動，在離開學(xué)校3千米處，張老師發(fā)現(xiàn)有物品遺留在學(xué)校，馬上騎自行車以每小時9千米的速度返回學(xué)校，拿了物品后又追趕學(xué)生隊(duì)伍，已知學(xué)生隊(duì)伍每小時行4千米，求張老師離開隊(duì)伍幾小時又追趕上學(xué)生隊(duì)伍？
分析與解答：這題不明確張老師從何處追及，以及追及距離有多長，學(xué)生會感到無法下手。
因此可設(shè)計(jì)以下一道比較題：“某校學(xué)生去進(jìn)行郊游活動，每小時行4千米，隊(duì)伍離開學(xué)校6千米后，張老師才騎自行車以每小時9千米的速度去追趕隊(duì)伍，問張老師幾小時能追趕上隊(duì)伍？”
這題學(xué)生很快能求出答案：張老師追趕上隊(duì)伍的時間為：6÷（9－4）＝1.2（小時）。
然后再將此題與例3進(jìn)行比較，學(xué)生很快能看出，張老師在隊(duì)伍離開學(xué)校3千米處再返回學(xué)校去拿取物品，然后再追及隊(duì)伍，追及的距離即為當(dāng)時隊(duì)伍與學(xué)校的距離的2倍。因此，學(xué)生很快能求出例3的答案，張老師追趕上隊(duì)伍的時間則為：3×2÷（9－4）＝1.2（小時）。
例4、某計(jì)劃在規(guī)定的時間內(nèi)加工一批零件，若每小時加工30個，則比規(guī)定時間晚完成1小時，若每小時加工48個，則比規(guī)定時間少用半小時，如果要在規(guī)定的時間內(nèi)完成，每小時要加工幾個零件？
分析與解答：這題中，有的學(xué)生對“比規(guī)定時間晚完成1小時”與“比規(guī)定時間少用半小時”這兩個條件不理解，因此會感到難以求解。
所以可出示下列一道比較題：“甲、乙兩人同時騎摩托車從A地到B地，甲每小時行48千米，乙每小時行30千米，經(jīng)過若干個小時，乙離B地還有36千米，甲已超過B地24千米，這時兩人如果立即掉頭往回走，如果兩人的速度不變，問甲追上乙要幾小時？”
這題是一道追及應(yīng)用題，學(xué)生很快能列式解答：甲追上乙要用的時間為：（24＋30）÷（48－30）＝3（小時）。然后再將此題同例4進(jìn)行比較，學(xué)生即能發(fā)現(xiàn)，比較題中的追及時間即為例4中的加工這批零件的規(guī)定時間，因此學(xué)生很快求出加工這批零件的規(guī)定時間為：（30＋48÷2）÷（48－30）＝3（小時）。因此，可求得，在規(guī)定的時間內(nèi)完成這批零件，每小時要加工的零件個數(shù)為：30×（3＋1）÷3＝40（個）。
例5、幼兒園將一筐蘋果分給小朋友，如果分給小班，每人5個則余10個，如果分給大班，每人8個，則有一人分到6個，已知小班比大班多3 人。問這筐蘋果有幾個？
分析與解答：這題比一般的盈余問題多了“小班比大班多了3人”，因此有的學(xué)生會望而卻步，不知所措。
因此可出示這樣一道比較題：“幼兒園將一筐蘋果分給幼兒園大班的小朋友，如果每人5個，則余25個，如果每人8個，則少2個，問這筐蘋果共幾個？”
這題學(xué)生很快能列式求解，大班人數(shù)為：（25＋2）÷（8－5）＝9（人）。這筐蘋果的個數(shù)為：9×8－2＝70（個）；或?yàn)椋?×9＋25＝70（個）。
再請學(xué)生將比較題同例5進(jìn)行比較，學(xué)生很快也能知道，小班比大班多5人，即為小班每人分5個，則要多余：5×3＋10＝25（個）。分給大班，每人8個，一人只分到有個，即為。每人分8個，則少：8－6＝2（個），因此，學(xué)生也能夠迅速求出這筐蘋果的個數(shù)為：8×[（25＋2）÷（8－5）]－2＝70（個）。
例6、一項(xiàng)工程，甲、乙兩人合作30天完成，如果甲單獨(dú)做24天后，乙再加入合作，兩人合作12天后，甲因有事離開，由乙再單獨(dú)做了15天才完成這項(xiàng)工程。問這項(xiàng)工程如果甲單獨(dú)做要用幾天才能完成？
分析與解答：這題中，因?yàn)榧�、乙兩人做的時間前后不同，學(xué)生會感到束手無策。
因此可出示這樣一道比較題：“一項(xiàng)工程，甲、乙合作30天完成，如果甲、乙兩人合作27天后，甲再用了9天才完成，求甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要用幾天才能完成？”
這題學(xué)生很快能求出甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要用的時間為：9÷（1－ 1/30 ×27）＝90（天）。
然后，再引導(dǎo)學(xué)生將例6同比較題進(jìn)行比較，學(xué)生即能發(fā)現(xiàn)，例6同比較題相比較，只是轉(zhuǎn)換了一捉說法，其實(shí)解題的思路是完全相同的。因此，學(xué)生也能很快求出甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程要用的時間為：（24－15）÷[ 1－ 1/30 ×（15＋12）]＝90（天）。
江蘇省江陰市青陽鎮(zhèn)旌陽小學(xué)：蔣儀
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