在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力
隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和人類社會的進(jìn)步，知識經(jīng)濟(jì)的時(shí)代已經(jīng)來臨，知識經(jīng)濟(jì)對創(chuàng)新能力提出了更高的要求�！陡咧袛�(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出“高中數(shù)學(xué)課程對于認(rèn)識數(shù)學(xué)與自然界、數(shù)學(xué)與人類社會的關(guān)系，認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、文化價(jià)值，提高提出問題、分析和解決問題的能力，形成理性思維，發(fā)展智力和創(chuàng)新意識具有基礎(chǔ)性的作用”，“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識”。這就要求我們從課堂教學(xué)改革入手，探索進(jìn)行創(chuàng)新教育的有效途徑。下面談?wù)勗跀?shù)學(xué)教學(xué)活動中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維能力的一些做法和體會：
一、設(shè)計(jì)知識的再創(chuàng)造過程，讓學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造
教材中的概念、公式、定理是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，對學(xué)生而言都是新的，但教師不必將各種規(guī)則、定律硬灌輸給學(xué)生，而是應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)、知識、方法去探索和發(fā)現(xiàn)，從而獲得新知，這對學(xué)生而言是一個(gè)知識的再創(chuàng)造的過程。在講誘導(dǎo)公式sin(180°+ )=-sin 時(shí)，湖南省冷水市漣邵二中劉利民老師沒有根據(jù)教材順序進(jìn)行講解，而是設(shè)計(jì)了如下步驟：（１）用三角函數(shù)定義求sin60°、sin240°（教師強(qiáng)調(diào)在同一坐標(biāo)系中求，為證明作鋪墊）；（２）由學(xué)生談感想并進(jìn)行猜想。大部分學(xué)生得出兩種想法： sin240°=-sin60°、sin(180°+ )=-sin （ 為銳角）。再經(jīng)過思考，有學(xué)生進(jìn)一步猜想：sin(180°+ )=-sin R；（３）引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證。教師設(shè)問提示：如何在同一坐標(biāo)系中求sin 、sin(180°+ )呢？學(xué)生都在 終邊上取一點(diǎn)p(x , y)，設(shè)op=r，并順利找到180°+ 的終邊即 終邊的反向延長線。接著，有的學(xué)生在180°+ 的終邊上任取一點(diǎn)p′，借助相似三角形性質(zhì)驗(yàn)證；有的學(xué)生在180°+ 的終邊上任取一點(diǎn)p′，并使o p′=r，利用對稱性驗(yàn)證。教師對學(xué)生的猜想和證明肯定后，要他們看教材進(jìn)行比較，并展開討論，有的說：“單位圓是畫蛇添足”，有的說：“單位圓更簡單”。學(xué)生在對知識的探索和爭論中，獲得對發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的體驗(yàn)。
二、創(chuàng)設(shè)情境，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新意識
1、誘發(fā)好奇心理，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神
教學(xué)中充分激發(fā)和利用學(xué)生的好奇心有利于提高課堂教學(xué)效果，而這樣的過程又能使學(xué)生的好奇心理得到進(jìn)一步強(qiáng)化。如用現(xiàn)代教學(xué)手段增強(qiáng)新奇感（運(yùn)用多媒體演示太空星球運(yùn)動、運(yùn)用幾何畫板演示動點(diǎn)軌跡），運(yùn)用生活中的現(xiàn)象增強(qiáng)趣味性（用打橋牌時(shí)對牌的分布的可能性引入概率、用幾只彈簧稱演示向量的合成與分解），運(yùn)用數(shù)學(xué)史料激發(fā)求知欲（用數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)引入無理數(shù)、用國際象棋發(fā)明者與印度國王的故事引入等比數(shù)列）。
在學(xué)生的好奇心被充分調(diào)動后，利用學(xué)生的好奇心和求知欲，給學(xué)生提供探索和發(fā)現(xiàn)的機(jī)會，鼓勵(lì)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，激發(fā)追根求源的探索精神。如講正弦定理時(shí)，不按照先推導(dǎo)公式再研究其應(yīng)用的傳統(tǒng)模式進(jìn)行，而是先給幾個(gè)具體問題讓學(xué)生研究。例如，已知a=3，b=4，B=60°，求A；已知a=3，A=30°，B=120°，求b等等。學(xué)生分別用構(gòu)造直角三角形的方法解決了這些問題后，自然產(chǎn)生這樣的感覺：能否建立一個(gè)模式來統(tǒng)一解決呢？這樣既激發(fā)了學(xué)生的探索熱情，又使正弦定理的引入變得水到渠成。再如，講點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，學(xué)生自然地想到過P(x0，y0)作直線L：Ax+By+C=0的垂線，先求垂足Q的坐標(biāo)，再求︱PQ︱。我沒有因其較繁而打斷學(xué)生的思路，而是讓他們繼續(xù)操作并加以解決。學(xué)生解決后自己也感到挺繁的，意識到應(yīng)該尋找更簡捷的解決方法，探索性思維又一次展開了。教師適時(shí)給予指導(dǎo)：若點(diǎn)P在y軸上是否可以來得簡單一點(diǎn)？受此啟發(fā)，學(xué)生經(jīng)過一番研究，多種嶄新的方案出臺了。
2、培養(yǎng)化歸意識，鼓勵(lì)大膽猜想
歸納法是通過一些個(gè)別的、特殊的情況加以觀察、分析，從而得出一般結(jié)論的推理方法。以某些已知的事實(shí)和一定的經(jīng)驗(yàn)為依據(jù)，對數(shù)學(xué)問題作出推測性的判斷即猜想。化歸意識的培養(yǎng)，不僅有助于實(shí)際問題的解決，而且有助于養(yǎng)成自覺地聯(lián)想、自覺地調(diào)整思維方式的鉆研精神和思考習(xí)慣。數(shù)學(xué)上的許多創(chuàng)造都是以猜想為前提的，著名的哥德巴赫猜想“任何一個(gè)大于２的偶數(shù)都可以表示成兩個(gè)素?cái)?shù)之和”就是一個(gè)典型的例子。在講組合數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我先讓學(xué)生計(jì)算考察下列組合數(shù)：C 與C ，C 與C ，C 與C ，從而歸納猜想出組合數(shù)性質(zhì)C =C ，最后再對該性質(zhì)加以證明。在講等差數(shù)列的概念時(shí)，讓學(xué)生填空（１）1，4，7， ，13， ；（２）3，0， ，-6， ， 。引導(dǎo)學(xué)生將觀察與思維有機(jī)結(jié)合，分析與猜測同步進(jìn)行。在平時(shí)的教學(xué)過程中，教師有意識地提出問題而不忙于解答，先讓學(xué)生猜想問題的答案，再運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行解決、證明是發(fā)展學(xué)生想象力和洞察力的有效途徑。
3、選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)內(nèi)容，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)
教材中有些章節(jié)沒有新概念，具有基礎(chǔ)性和可遷移的特點(diǎn)，可以指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立研究學(xué)習(xí)：教師向?qū)W生提供探究的問題，讓學(xué)生自己探索得出結(jié)論。如在講正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)時(shí)，劉利民老師考慮到幾何法作函數(shù)圖象的局限性和描點(diǎn)分析函數(shù)性質(zhì)作圖應(yīng)用的廣泛性，因而微調(diào)教材內(nèi)容（幾何法改為描點(diǎn)法）：要求學(xué)生用描點(diǎn)法并分析函數(shù)性質(zhì)作出y=tanx的草圖。學(xué)生獨(dú)立思索，約用了２５分鐘，有的同學(xué)作出了錯(cuò)誤的圖象；有的同學(xué)作圖正確但對單調(diào)性的判定憑直覺；有的同學(xué)推理有據(jù)，作圖正確，頗有見地。在研究過程中，函數(shù)性質(zhì)不教自明，下面是學(xué)生中一種比較典型的探索、研究過程：（１）令x=0， ， ， ，2 ，求tanx并描點(diǎn)；（自我啟示：①發(fā)現(xiàn)五點(diǎn)法作圖行不通，應(yīng)描更多的點(diǎn)；② x k + ; ③ 意識到函數(shù)具有周期性，并由誘導(dǎo)公式推得周期為 ）；（２）令x= ， ， ，求tanx并描點(diǎn)；（自我啟示：①意識到y(tǒng)=tanx為奇函數(shù)并由誘導(dǎo)公式得證；②意識到函數(shù)在(- ， )遞增）；（３）作出正確的草圖。
三、提高思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力
1、一題多解，培養(yǎng)發(fā)散思維能力
對教材中例題、習(xí)題一題多解有利于調(diào)動學(xué)生思維的積極性和創(chuàng)造性。在解題教學(xué)中，不要片面追求學(xué)生的思路跟教材一致、跟教師一致，而要?jiǎng)?chuàng)設(shè)態(tài)度民主型、思維開放型的課堂。教材中例題一般只給出一種解法，但其中有不少題卻有多種解法，教師要在備課中盡量挖掘出來，在課堂上通過點(diǎn)拔、暗示體現(xiàn)出來，凡是學(xué)生有能力解決的，教師只作評價(jià)和總結(jié)。如在講例題：已知tan =- ，并且 是第三象限角，求 的其余三角函數(shù)值時(shí)，我要求學(xué)生自己尋找解題思路，學(xué)生先后找出四種思路：直接運(yùn)用三角函數(shù)定義（幾何解法），分別運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中的三個(gè)平方關(guān)系。而在講不等式證明題：已知0<a<1，0<b<1，求證 + + + 2 時(shí)，學(xué)生想到了分別用不等式、復(fù)數(shù)、解幾、平幾等有關(guān)知識進(jìn)行證明。這樣既有利于學(xué)生系統(tǒng)掌握所學(xué)知識，又有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和廣闊性。
另外，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一空多填、一式多變、一題多變、一題多問、多題一法；數(shù)學(xué)方法中的變量代換、幾何問題代數(shù)化與代數(shù)問題幾何化、幾何變換；數(shù)學(xué)解題中尋找簡便解法、反常規(guī)解法以及獨(dú)特解法的訓(xùn)練等，都有助于發(fā)散思維能力的培養(yǎng)。
2、鼓勵(lì)質(zhì)疑提問，培養(yǎng)思維的批判性
古人云“學(xué)貴有疑”，疑就是一種批判精神，思維的批判性是創(chuàng)造性思維的一個(gè)重要特征。學(xué)生的提問質(zhì)疑不僅可以鍛煉其思維能力，而且在疑的基礎(chǔ)上讓學(xué)生探討問題的答案，還可以培養(yǎng)其學(xué)習(xí)的主動性。在講直線方程時(shí)，我曾經(jīng)出過這樣一道題讓學(xué)生思考：河岸（直線l方程：x+y-3=0）的同側(cè)有A(-1、1)、B(2、-3)兩地 ，若B地失火，某人從A地出發(fā)到河中提水去B地救火，問此人應(yīng)如何走法速度最快？本來目的是考查學(xué)生直線方程的有關(guān)知識，多數(shù)學(xué)生也正是如此，先求點(diǎn)A關(guān)于直線L的對稱點(diǎn)A′，再求A′B方程，確定A′B與直線L的交點(diǎn) 。正當(dāng)我頗為得意之際，有一個(gè)同學(xué)突然站了起來：“老師，這道題不好做，因?yàn)樘崴然饡r(shí)空桶、滿桶速度不一樣”。粗一想以為學(xué)生是故意搗亂，不禁火苗直竄；細(xì)一想這位學(xué)生的話很有道理，學(xué)生考慮問題比我全面，正是學(xué)生的大膽質(zhì)疑提醒了我原題出得不夠嚴(yán)密。對這位學(xué)生不但不應(yīng)該批評，而且應(yīng)該表揚(yáng)、鼓勵(lì)。
3、發(fā)展直覺思維，培養(yǎng)對美的感悟能力
直覺思維是指人們不受邏輯規(guī)則約束直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的一種思維方式。直覺思維能力可以通過多方聯(lián)想，學(xué)會從整體考察問題，注意挖掘事物內(nèi)部的本質(zhì)聯(lián)系，借助對稱、和諧、簡單、統(tǒng)一、奇異、突變等數(shù)學(xué)美感，養(yǎng)成解題后進(jìn)行反思的習(xí)慣等途徑加以培養(yǎng)。對數(shù)學(xué)美的追求和感悟，讓學(xué)生獨(dú)立地感受這些美及其思維功能，熏陶著創(chuàng)造的情思和意志，增強(qiáng)了創(chuàng)造美的能力。如教材中概率部分有一道題：邊長為n 的正方體由n3 個(gè)邊長為1的小正方體組成，問其中看不見的小正方體有多少個(gè)？看得見的小正方體有多少個(gè)？這道題可以有好幾種其它解法，但都較繁，而直覺思維能力強(qiáng)的同學(xué)卻可能會發(fā)現(xiàn)：從大正方體的頂面、前面、側(cè)面各剝?nèi)ヒ粚有≌襟w，剩下部分恰好就是看不見的小正方體。于是很快得出結(jié)論：看不見的小正方體有(n-1)3個(gè)，看得見的小正方體有n3-(n-1)3=3n2-3n+1個(gè)。而在講誘導(dǎo)公式時(shí)，我沒有直接講公式而是先讓學(xué)生猜想sin130°與sin50°、cos130°與cos50°的關(guān)系，然后再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明，后來一位原來沒有猜對正確答案的學(xué)生說：“本來我就應(yīng)該知道的，130°與50°的角的終邊關(guān)于y軸對稱，它們之間應(yīng)該有著特殊的關(guān)系……”。學(xué)生的話對我感觸很深，我們應(yīng)該充分利用和發(fā)展學(xué)生對美的感悟能力啊！
學(xué)生創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)還可以通過引入數(shù)學(xué)開放題、指導(dǎo)學(xué)生撰寫數(shù)學(xué)小論文、教師在教學(xué)過程中多一份耐心和寬容、允許學(xué)生嘗試乃至失敗等多種途徑加以培養(yǎng)。當(dāng)然，創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)非一朝一夕之功，但只要我們在自己的教學(xué)實(shí)踐中不斷研究教學(xué)方法，不斷探索教改之路，就一定能使學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力不斷提高。
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