* 這里不管用什么方法，用數(shù)手指的方法算出正確結(jié)果的也算在內(nèi)。

　　4.一般每小節(jié)教學(xué)之前與實(shí)驗(yàn)教師備一次課。第一次實(shí)驗(yàn)時(shí)，由于只編一部分實(shí)驗(yàn)教材，未能完全按照預(yù)先計(jì)劃的課時(shí)進(jìn)行教學(xué)；第二次實(shí)驗(yàn)時(shí)，完全按照預(yù)先計(jì)劃的課時(shí)進(jìn)行教學(xué)。

　　5.對(duì)實(shí)驗(yàn)情況的收集和研究，主要采取以下幾種方法：做聽(tīng)課記錄，階段測(cè)試，個(gè)別查問(wèn)，對(duì)比測(cè)試，專(zhuān)項(xiàng)調(diào)查，對(duì)記錄、測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析、討論。

　　著重分析以下幾個(gè)問(wèn)題。

　　（一）關(guān)于提早出現(xiàn)等號(hào)、大于號(hào)、小于號(hào)

　　在現(xiàn)行通用教材中，等號(hào)是在開(kāi)始教加法時(shí)出現(xiàn)的，大于號(hào)、小于號(hào)是在第二冊(cè)教學(xué)求兩個(gè)數(shù)相差多少的應(yīng)用題時(shí)出現(xiàn)的。實(shí)驗(yàn)教材改在準(zhǔn)備課中教比較兩組物體多少時(shí)出現(xiàn)，以后結(jié)合數(shù)的認(rèn)識(shí)和計(jì)算，做一些數(shù)的大小比較的練習(xí)，如7＞6，5+3＜9等。（圈里的符號(hào)要求兒童填）

　　從實(shí)驗(yàn)情況看，開(kāi)始教學(xué)大于號(hào)、小于號(hào)，多數(shù)兒童能掌握，有少部分兒童不知開(kāi)口朝向較大的數(shù)。學(xué)完10以?xún)?nèi)加減法，絕大多數(shù)掌握得比較好。測(cè)試結(jié)果如下：

　　提早出現(xiàn)大于號(hào)和小于號(hào)，是近20年來(lái)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展趨勢(shì)之一。如蘇聯(lián)、民主德國(guó)在一年級(jí)認(rèn)l、2時(shí)都出這兩個(gè)符號(hào)，英、法兩國(guó)也出得比較早。從實(shí)驗(yàn)情況看，提早出現(xiàn)這兩個(gè)符號(hào)是完全可能的。因?yàn)閮和�已�?jīng)有了比較物體的數(shù)量多少的經(jīng)驗(yàn)，這里只是把這種比較符號(hào)化；而這兩個(gè)符號(hào)形象易懂，兒童只要記住開(kāi)口朝向較大的數(shù)就不難掌握。在實(shí)驗(yàn)中還看到出現(xiàn)這兩個(gè)符號(hào)有以下好處：1.在以后認(rèn)數(shù)時(shí)便于用來(lái)表示比較數(shù)的大小，從而有利于弄清數(shù)的概念。2.有助于理解“相等”的概念。正如贊科夫所說(shuō)，只有跟“不等”進(jìn)行比較，才能掌握“相等”這個(gè)概念。3.經(jīng)常利用對(duì)應(yīng)關(guān)系比較實(shí)物多少和數(shù)的大小，可為以后教學(xué)求兩數(shù)相差多少等應(yīng)用題做較好的準(zhǔn)備。4.出現(xiàn)大于號(hào)和小于號(hào)以后，可以使練習(xí)形式增加變化，有助于培養(yǎng)兒童思維的靈活性。例如，學(xué)完10以?xún)?nèi)加減法，出了一道思考題，3+□＜5，1985年實(shí)驗(yàn)班填對(duì)的達(dá)91.6％。教學(xué)時(shí)有一點(diǎn)值得注意，最初幾節(jié)課只要讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)大于號(hào)、小于號(hào)，不要求全班一下都掌握，而要在以后的反復(fù)練習(xí)中逐步掌握。

　�。ǘ�）關(guān)于10以?xún)?nèi)加、減法的編排

　　這部分教材進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)，由于加強(qiáng)操作，把加、減法結(jié)合著教學(xué)，兒童的學(xué)習(xí)積極性高，掌握知識(shí)的質(zhì)量好。實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如下：

　　1985年實(shí)驗(yàn)班后來(lái)參加本校一年級(jí)各班統(tǒng)一測(cè)驗(yàn)，結(jié)果正確率和速度都是最好的。

　　根據(jù)實(shí)驗(yàn)情況初步分析，實(shí)驗(yàn)教材的編排有以下幾點(diǎn)好處：

　　1.使兒童更清楚地理解加減基本式題之間的關(guān)系，便于利用聯(lián)想算出加、減法式題的得數(shù)�，F(xiàn)行通用教材中加、減法雖然穿插編排，但是相互聯(lián)系較少，只是通過(guò)少數(shù)練習(xí)題反映它們之間的聯(lián)系。實(shí)驗(yàn)教材從得數(shù)是4的加法和相應(yīng)的減法開(kāi)始，每次都把加減法對(duì)照排列，在兒童操作的基礎(chǔ)上由用一幅圖表示兩個(gè)算式（如在4個(gè)白木塊和2個(gè)黑木塊下面出現(xiàn)4+2=6和2+4=6，在4個(gè)綠蘋(píng)果和2個(gè)紅蘋(píng)果下面出現(xiàn)6-2=4和6-4=2），逐步過(guò)渡到用一幅圖表示四個(gè)算式（如在8個(gè)白木塊和1個(gè)黑木塊下面出現(xiàn)8+1=9，1+8=9，9-1=8，9-8=1），兒童對(duì)10以?xún)?nèi)加、減法逐漸形成明確的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，計(jì)算時(shí)聯(lián)系數(shù)的組成和加減法的關(guān)系，能較快地算出結(jié)果。在給一幅圖要求兒童看圖寫(xiě)出兩個(gè)加法算式和兩個(gè)減法算式時(shí)，1984年三個(gè)實(shí)驗(yàn)班除了一人不清楚外，其他都明確加減法的關(guān)系，1985年實(shí)驗(yàn)班則全都寫(xiě)出正確答案。

　　2.加、減法結(jié)合在一起教，減少了單教加法時(shí)得數(shù)單一的練習(xí)，調(diào)動(dòng)了兒童學(xué)習(xí)的積極性。同時(shí)，由于兒童在頭腦中逐步形成加、減法的內(nèi)在聯(lián)系，以后學(xué)到得數(shù)是8、9、10的加法與相應(yīng)的減法，他們自己就能把這種規(guī)律性的聯(lián)系運(yùn)用于新的問(wèn)題之中，這樣就初步培養(yǎng)了兒童的類(lèi)化、遷移的能力。

　　3.由于新知識(shí)的教學(xué)相對(duì)集中，加強(qiáng)了聯(lián)系，兒童又初步有一些類(lèi)化、遷移的能力，相對(duì)地縮短了講授時(shí)間，加強(qiáng)了課內(nèi)練習(xí)，從而也減輕了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。實(shí)驗(yàn)這部分教材時(shí)，雖然增加了大于號(hào)、小于號(hào)，加減混合式題以及用圖畫(huà)表示的應(yīng)用題，而教學(xué)的課時(shí)數(shù)比現(xiàn)行通用教材的計(jì)劃課時(shí)數(shù)還稍有減少。

　�。ㄈ�）關(guān)于20以?xún)?nèi)進(jìn)位加法和退位減法的編排

　　1984年實(shí)驗(yàn)時(shí)，進(jìn)位加法按照9加幾、8加幾、……的順序編排，同時(shí)出現(xiàn)交換加數(shù)位置的式題；退位減法結(jié)合著進(jìn)位加法，每次出現(xiàn)相應(yīng)的減法的所有情況。第二次則按照前述改革要點(diǎn)（4）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。兩次實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

　　可以看出，根據(jù)1985年教實(shí)驗(yàn)班的教師的實(shí)際情況，教學(xué)成績(jī)卻接近1984年實(shí)驗(yàn)班的成績(jī)，在計(jì)算速度方面還超過(guò)了1984年的成績(jī)。這個(gè)班參加本校統(tǒng)一的期末考試，成績(jī)也都優(yōu)于其他兩個(gè)普通班。

　　下面根據(jù)第二次實(shí)驗(yàn)情況，也聯(lián)系第一次實(shí)驗(yàn)情況，著重分析第二次實(shí)驗(yàn)教材的特點(diǎn)。

　　1.新課的內(nèi)容單一，思路單一，規(guī)律突出，兒童比較容易掌握。如9加幾，都先把第二個(gè)加數(shù)分成1和幾，用1和9湊成10；8加幾，都先把第二個(gè)加數(shù)分成2和幾，用2和8湊成10；算十幾減9，在熟練9加幾的基礎(chǔ)上，都想9加幾等于被減數(shù)；算十幾減8，在熟練8加幾的基礎(chǔ)上，都想8加幾等于被減數(shù)；……大多數(shù)兒童都能較快地學(xué)會(huì)推想方法，并達(dá)到熟練。少數(shù)兒童開(kāi)始學(xué)減法有些困難，主要是在計(jì)算十幾減9、減8時(shí)不會(huì)用加法逆向聯(lián)想算出減法的得數(shù)；也有少數(shù)兒童雖然能用加法推想，但由于加法不熟練而想錯(cuò)了得數(shù)；還有個(gè)別兒童在想未知的加數(shù)時(shí)與湊十的加法混淆，如算15-9想成9+（4）=15，算16-9想成9+（5）=16，誤認(rèn)為想出的數(shù)比和的個(gè)位數(shù)少1。（第一次實(shí)驗(yàn)也有類(lèi)似情況）經(jīng)過(guò)及時(shí)的輔導(dǎo)，一方面借助逆向聯(lián)想的卡片[如15-9=（ ），9+（ ）=15]教會(huì)兒童推想的方法，另一方面加強(qiáng)相應(yīng)的進(jìn)位加法的練習(xí)，兒童逐步都掌握了，以后計(jì)算就比較順利，有的后進(jìn)生進(jìn)步還較快。下面列舉1985年實(shí)驗(yàn)班的幾個(gè)兒童的進(jìn)步情況：

　　從表中看出，兒童接受新知識(shí)的快慢程度是有明顯差別的。有些兒童理解和掌握新知識(shí)要經(jīng)歷一個(gè)較長(zhǎng)的過(guò)程。這些兒童暫時(shí)處于落后狀態(tài)，但并不都是差生。只要教師明確這一點(diǎn)，及時(shí)地、耐心地和有針對(duì)性地給以幫助，這個(gè)暫時(shí)困難可以逐步克服，最后還能取得較好成績(jī)。

　　2.新的編排方式有助于發(fā)展兒童智力。在實(shí)驗(yàn)中看到，多數(shù)兒童在學(xué)8加幾時(shí)能把已經(jīng)掌握的湊十方法遷移到新的情況中去。教學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)教師有意識(shí)地提問(wèn)：計(jì)算9加幾和計(jì)算8加幾時(shí)都用湊十法，有什么不同的地方？很多兒童能正確地回答。這會(huì)促進(jìn)兒童分析、比較能力的發(fā)展。教學(xué)退位減法時(shí)，運(yùn)用加法推算減法的得數(shù)（如15-9，兒童要想9加幾得15，因?yàn)?加6得15，所以15減9等于6）這種訓(xùn)練本身就是培養(yǎng)兒童初步推理能力的過(guò)程，而且用加算減帶有逆向思維的性質(zhì)，而培養(yǎng)逆向思維是培養(yǎng)思維能力的一個(gè)重要方面。前面所舉的少數(shù)兒童感到困難的也正是這一點(diǎn)。但是兒童通過(guò)實(shí)際操作、觀察演示以及借助逆向聯(lián)想的卡片練習(xí)，逐漸掌握了推想的方法，后面的學(xué)習(xí)就比較順利。這時(shí)兒童不但計(jì)算能力明顯提高，類(lèi)化、遷移的能力也獲得發(fā)展。

　　3.新的編排便于逐步簡(jiǎn)縮思維過(guò)程，提高計(jì)算速度，最后形成熟練的計(jì)算技巧。開(kāi)始教學(xué)9加幾、8加幾……的湊十方法，只是教給兒童推想的一般步驟，兒童大都按照思考步驟來(lái)計(jì)算。經(jīng)過(guò)一些練習(xí)，教師引導(dǎo)兒童簡(jiǎn)縮思維的中間環(huán)節(jié)。如9+3，只要想3撥過(guò)1（省略“和9湊成10，3還剩2，合起來(lái)”）得12；8+5，只要想5撥過(guò)2，得13。兒童掌握這個(gè)規(guī)律以后，計(jì)算速度有較明顯的提高。再經(jīng)過(guò)一定的練習(xí)，達(dá)到看見(jiàn)式題不假思索地很快說(shuō)出得數(shù)。至于退位減法，開(kāi)始按照9加幾得12，8加幾得13等來(lái)推想12-9、13-8等的計(jì)算結(jié)果。以后在掌握基本推想方法的基礎(chǔ)上，對(duì)于減數(shù)較大的情況，也適當(dāng)啟發(fā)兒童找規(guī)律，有助于簡(jiǎn)縮思維過(guò)程。如減9所得的差比被減數(shù)的個(gè)位數(shù)都多1，等等。實(shí)驗(yàn)表明，這種簡(jiǎn)縮思維過(guò)程、探索規(guī)律的工作不能進(jìn)行得太早，在兒童還沒(méi)掌握基本推想方法時(shí)教這種簡(jiǎn)便的方法，容易造成混亂，欲速則不達(dá)。另外，注意加減法之間的聯(lián)系仍然很重要。開(kāi)始為了便于兒童掌握，只限一個(gè)加法算式和一個(gè)減法算式建立聯(lián)系，如9+2和11-9，8+3和11-8，……隨著學(xué)習(xí)的進(jìn)展，逐步建立兩個(gè)加法算式和兩個(gè)減法算式的聯(lián)系，最后還加以綜合整理。這不僅使兒童進(jìn)一步明確加減法的關(guān)系，而且便于兒童運(yùn)用多方面聯(lián)想，促進(jìn)思維過(guò)程的簡(jiǎn)縮，較好地掌握20以?xún)?nèi)的進(jìn)位加法和退位減法。

　　4.新的編排方式便于教師采用不同的推想方法。近年來(lái)有些教師由于看到部分兒童用加法逆向聯(lián)想來(lái)計(jì)算20以?xún)?nèi)退位減法比較困難，改教“破十法”，或進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。但是這樣教學(xué)時(shí)需要改變現(xiàn)行通用教材的編排順序。這次實(shí)驗(yàn)教材改變了編排方式，為教師采用不同的推想方法提供了方便。（有關(guān)“破十法”問(wèn)題將在后面加以討論。）

　�。ㄒ唬┊�(dāng)前，數(shù)學(xué)教材改革的一項(xiàng)重要任務(wù)，就是如何使兒童容易理解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，減輕學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，同時(shí)又促進(jìn)兒童智力的發(fā)展。要完成這項(xiàng)任務(wù)，研究和處理好數(shù)學(xué)教材的結(jié)構(gòu)具有十分重要的意義。正如美國(guó)心理學(xué)家布魯納所說(shuō)的，“不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)�！碧K聯(lián)教育家斯卡特金在《現(xiàn)代教學(xué)論問(wèn)題》一書(shū)中也強(qiáng)調(diào)要確定學(xué)科的結(jié)構(gòu)，以適應(yīng)普通教育的目的。本實(shí)驗(yàn)表明，在小學(xué)數(shù)學(xué)中，即使是一年級(jí)最簡(jiǎn)單的內(nèi)容也存在著研究教材結(jié)構(gòu)的問(wèn)題。良好的教材結(jié)構(gòu)便于教師教和學(xué)生學(xué)，可以促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提高。

　�。ǘ�）20以?xún)?nèi)加、減法教材的結(jié)構(gòu)可以是多種多樣的。但是良好的教材結(jié)構(gòu)，一方面必須反映數(shù)學(xué)的基本概念和基本原理，另一方面要符合兒童的認(rèn)知特點(diǎn)。美國(guó)G.F.格林認(rèn)為，“應(yīng)當(dāng)成組地講解基本式，而不要單個(gè)地講，”它的好處是可以“減少要學(xué)習(xí)的各自獨(dú)立的內(nèi)容的數(shù)目，便于從結(jié)構(gòu)上做出概括結(jié)論并教兒童如何應(yīng)用它們�！倍嗄陮�(shí)踐和本實(shí)驗(yàn)證明這種看法是正確的。但是如何分批分組，要對(duì)具體內(nèi)容進(jìn)行具體分析。蘇聯(lián)心理學(xué)家贊科夫在論教科書(shū)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)時(shí)，強(qiáng)調(diào)要注意教育功能的多方面性，不僅使兒童掌握數(shù)學(xué)知識(shí)和技巧，而且要促進(jìn)他們的一般發(fā)展。本實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，10以?xún)?nèi)加、減法把兩種運(yùn)算結(jié)合起來(lái)教學(xué)，20以?xún)?nèi)進(jìn)位加法和退位減法穿插編排，以后逐步加以綜合整理，能使兒童較好地掌握基礎(chǔ)知識(shí)和計(jì)算技巧，又促進(jìn)他們智力的發(fā)展。

　　（三）本實(shí)驗(yàn)表明，初入學(xué)兒童學(xué)習(xí)20以?xún)?nèi)加、減法時(shí)，無(wú)論在已有的經(jīng)驗(yàn)，領(lǐng)會(huì)的速度，把已學(xué)的知識(shí)遷移到新問(wèn)題中的能力，識(shí)記的能力等方面，都存在很大差異。因此編寫(xiě)教材，確定要求和進(jìn)行教學(xué)都要注意適應(yīng)這一點(diǎn)，改變那種“一刀切”的教育思想和教學(xué)方法。在教學(xué)某一新知識(shí)時(shí)不能要求所有兒童當(dāng)堂都掌握，要容許一些后進(jìn)兒童經(jīng)過(guò)必要的輔導(dǎo)和較長(zhǎng)時(shí)間的學(xué)習(xí)實(shí)踐逐步掌握。只要教學(xué)得法，暫時(shí)后進(jìn)的兒童，能夠逐步達(dá)到基本的教學(xué)要求，甚至能夠取得較好的成績(jī)。

　�。ㄋ模┍緦�(shí)驗(yàn)雖然初步取得較好結(jié)果，但是教材的結(jié)構(gòu)和其他方面的安排是否普遍適合各地情況，還有待進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)研究。其中20以?xún)?nèi)退位減法，實(shí)驗(yàn)表明，用加法逆向聯(lián)想來(lái)算，仍是比較好的一種方法。它對(duì)于使進(jìn)位加法進(jìn)一步熟練，深刻理解加減法的關(guān)系，發(fā)展兒童智力，都有一定的促進(jìn)作用。少數(shù)兒童開(kāi)始學(xué)習(xí)會(huì)有一些困難，但只要多利用操作、直觀，及時(shí)給以幫助，是能夠逐步掌握的。實(shí)驗(yàn)教材的編排也為教師采用其他方法（如“破十法”）提供了方便。關(guān)于“破十法”，由于某些原因沒(méi)有進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，僅在采用這種方法的學(xué)校進(jìn)行了一些調(diào)查。初步看到，采用“破十法”，兒童比較容易理解和掌握，經(jīng)過(guò)練習(xí)也能達(dá)到熟練的程度；有些兒童能夠簡(jiǎn)縮思維步驟（如13-8，很快想8的補(bǔ)數(shù)2，加3得5）。但是也有很多是分步算的。特別是在計(jì)算兩位數(shù)減法時(shí)（如61-7，72-36），有些兒童要用鉛筆或手指先點(diǎn)著被減數(shù)的十位和減數(shù)的個(gè)位，再點(diǎn)著減數(shù)的個(gè)位和被減數(shù)的個(gè)位，少數(shù)兒童甚至往返幾次，才算出得數(shù)，因而速度很慢。另外，采用“破十法”，削弱了加減法之間的聯(lián)系，不利于培養(yǎng)兒童通過(guò)多種聯(lián)想運(yùn)用舊知識(shí)解決新問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題還有待進(jìn)一步研究，并進(jìn)行一些追蹤調(diào)查。