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數(shù)學教學論文：基于策略：解決實際問題的教學訴求
數(shù)學教學論文：基于策略：解決實際問題的教學訴求——兩步計算實際問題的教學思考
江蘇省邳州市教育局教研室聶艷軍
[摘要]新教材對于解決實際問題內容采用“以具體思維方法統(tǒng)整教學內容”的編排思路，其發(fā)展學生解決問題策略的意圖是顯而易見的。兩步計算實際問題在解決實際問題教學中，占有十分重要的地位，分析與綜合是學生經常使用而且必須掌握的基本策略。教學中，可以采用如下策略：“表征問題”，把潛在的經驗曝露出來；陳述思維，體會思考的起點與方向；比較反思，從解題經驗中提取可操作的成分；有效練習，在應用中深化體驗。
[關鍵詞]解決實際問題解題策略教學價值
新教材對于解決實際問題內容，變以往分類編排為按學生能力發(fā)展水平、由易到難編排，采用“以具體思維方法統(tǒng)整教學內容”的教學思路，即通過典型例題引路，在練習中把例題所提供的思維方法作為基本的思考模型，帶動一大片題材寬廣、數(shù)量關系豐富的內容學習。引領學生從過去過分關注問題的“表層結構”（問題所包含的事實性內容及其表述形式）轉向現(xiàn)在更加關注它們的“深層結構”（問題內在的數(shù)學結構），其發(fā)展學生解決問題策略的意圖是顯而易見的。
兩步計算實際問題與復雜實際問題的解題思路實質是相通的，只是計算的步數(shù)多少而已，抓好兩步計算實際問題的教學對于學生的后續(xù)學習具有深遠意義。兩步計算實際問題的特征是：條件與問題之間存在著形式上的“分離”，即現(xiàn)有信息的結論指向與問題所需的信息之間存在著思維的障礙。學生在從當前的問題狀態(tài)到達需要的目標狀態(tài)的過程中，必須對數(shù)學信息和問題之間直接或間接的聯(lián)系進行思考與分析。完成這種思維進程，分析與綜合是學生經常使用而且必須掌握的基本策略。
下面結合蘇教版課程標準實驗教科書二下第82頁的教學內容談談兩步計算實際問題的教學思考。
一、“表征問題”，把潛在的經驗曝露出來。
“表征問題”，就是讓待解決的問題進入解題人的頭腦，形成問題表象，也就是通常所說的理解題意。實際問題解答的成功與否，首先依賴于學生對實際問題內容的明確程度。新教材解決實際問題大多采用場景圖的形式呈現(xiàn)問題情境。問題情境給學生創(chuàng)造一個模擬的“生活空間”，容易使學生體會到要解決的問題出自自己熟悉的生活原型，有身臨其境之感。但是，解決問題所需要的數(shù)學信息是以對話、圖畫、表格、文字等多種形式鑲嵌其間的，并呈現(xiàn)一定的無序性、隱蔽性，(教學論文 325224.com)很難形成對問題的完整印象。由此，指導學生從紛亂的現(xiàn)實情境中收集、整理數(shù)學信息，并按事情發(fā)生、發(fā)展的線索把問題說清楚、說完整、說準確，是首當其沖的。
[教學現(xiàn)場]
動畫呈現(xiàn)例1場景圖。大猴說：“我采了3筐，每筐12個。”小猴說：“我采了6個。”
師：圖中講了什么事？你能了解到哪些信息？
生1：大猴說：“我采了3筐，每筐12個。”小猴說：“我采了6個�！�
生2：大猴采了3筐，每筐12個。小猴采了6個。
師：根據(jù)這些信息，能提一個數(shù)學問題嗎？
生3：大猴和小猴一共采了多少個桃？
生4：大猴比小猴多采多少個？
師：我們先來研究第一個問題。誰能把條件和問題完整地說一說？
生5：大猴采了3筐桃，每筐12個，小猴采了6個桃。大猴和小猴一共采了多少個桃？
[教學分析]
經歷將實際問題轉化為數(shù)學問題的過程，是形成問題表象的通道。教師分三個層次引導學生經歷這種轉化的過程：首先，通過“圖中講了什么事？你能了解到哪些信息”，給學生留出充分的時間進入情境，引導學生仔細地看、充分地講，把實際情境里的數(shù)學信息用自己的語言大膽地說出來。接著，要求學生根據(jù)信息提問題。收集、整理信息不是羅列條件，還要發(fā)現(xiàn)條件之間的聯(lián)系，從中生成出新的、有用的信息（數(shù)學問題），由此喚醒學生的生活積淀和已有的原始經驗，并孕育“由條件想問題”的綜合思路。最后，通過完整地說一說條件和問題，把情境圖表現(xiàn)的實際問題加工成語言講述的數(shù)學問題，形成問題表象。學生經歷將實際問題抽象成數(shù)學問題的過程，主要信息通過感知，不僅理解題意，形成完整的問題結構，而且把隱含在個體經驗里的解題策略進行激活。這樣，學生就容易形成對解決問題躍躍欲試的參與狀態(tài)。
二、陳述思維，體會思考的起點與方向。
分析信息之間的關系，并用數(shù)學語言表述數(shù)量關系，形成解決問題的思路，是解決實際問題的核心。過去的教材教學兩步計算的應用題時，在例題下面都有“想：根據(jù)和，先求”或“想：要求，需要知道和”。這樣安排，漠視學生的主動性與能動性，容易形成限制學生的思維方式。新教材不再呈現(xiàn)思路提示，也并不等于學生可以“隨意發(fā)揮”，教師無可作為。二年級學生雖然憑經驗知道題目怎樣算，但很難把自己的思維過程表達得清楚、完整。在初學兩步計算的實際問題階段，教師通過引導，使學生把自己的思維過程表述清楚、完整、有條理，還是需要的。這不僅有利于制定解題計劃，更能加深學生對思維方法可操作成分的體驗，為掌握基本策略提供物質基礎。
[教學現(xiàn)場]
師：怎樣才能求出大猴和小猴一共采了多少個桃呢？請小朋友先獨立思考，然后在小組里說說自己的想法。
學生匯報討論結果。
生：先用12×3=36（個），再用36+6=42（個）。
師：能具體地說你是先算什么，再算什么嗎？
生：先求出大猴采了多少個桃，再把大猴采的個數(shù)和小猴采的個數(shù)加起來。
師：為什么先算大猴采了多少個桃呢？
生：因為小猴采桃的個數(shù)已經告訴，大猴采多少個桃沒有直接告訴。
師：從題目中哪些條件能算出大猴采的個數(shù)？
生：根據(jù)大猴采了3筐桃，每筐12個，可以先算出大猴采的個數(shù)。
師：誰能更完整地說說思考的過程？
生：因為大猴采多少個桃沒有直接告訴，所以要先算所以先算大猴采了多少個桃，再把大猴采桃的個數(shù)和小猴采桃的個數(shù)相加。
生：先根據(jù)大猴采了3筐，每筐12個，求出大猴一共采了多少個桃，再和小猴采的6個加起來。
師小結：根據(jù)大猴采了3筐，每筐12個這兩個條件，能算出大猴采了多少個桃，再用大猴采的個數(shù)加上小猴采的個數(shù)。
學生在作業(yè)本上獨立列式解答，然后匯報，教師板書課題。
接下來，研究第二個問題。略。
[教學分析]
簡單的乘加、乘減問題，從條件想比較順暢，學生經常邊讀題邊聯(lián)系原始經驗進行思考。張老師根據(jù)學生的學習心理，把思維的重點放在“綜合思路”上，符合教材的編寫意圖。怎樣使學生結合解題活動對這種思維方法能有良好的體驗呢？“組織交流”是必不可少的環(huán)節(jié)。在很多教案里，教師也安排了交流，但對交流的內容、交流的重點、交流應達到的目的以及如何引導，沒有細致的思考與準備，這樣的交流難能讓學生形成深刻的體驗。在上面的教學中，教師首先鼓勵學生獨立思考，并在小組里說說自己的想法，這一方面是對學生已有的經驗的尊重，另一方面也使得后面的交流活動“有話可說”。在第一個學生發(fā)言之后，教師通過“能具體地說說你是先算什么，再算什么的嗎？”“為什么先算大猴采了多少個桃呢？”“從題目中哪些條件能算出大猴采的個數(shù)？”引導學生的交流逐步從零碎走向完整，從膚淺走向深刻。這樣的交流，不僅孵化了解題思路，而且讓學生體會到解決問題時思考的起點與方向。
三、比較反思，從解題經驗中提取可操作的成分。
實話實說，現(xiàn)在的數(shù)學課堂很少再有教師示范解決實際問題的方法，代之而來的是讓學生自主探索的解決問題的方法。然而，很多教師只關注學生的算法和結果是否正確，這種“只見樹木”的教學行為，很難能讓學生把例題學習的經驗遷移到新的問題情境中去。由此形成的局面往往是，學生普遍感覺例題容易、練習較難。事實上，學生獨立解決問題往往是在生活經驗的支持下進行的。他們雖然對問題解決了，但對解決問題的過程與方法缺乏上升到數(shù)學層面反思、比較與提升，其認識表現(xiàn)出明顯的情境性與局限性。因此，在學生積累一定的解題經驗之后，教師應及時組織學生上升到數(shù)學的層面，重認自己的解題過程與方法，體會其中的思考，從解題經驗中提取可操作的成分。
[教學現(xiàn)場]
師：請同學們仔細觀察剛才的兩道題，它們有什么相同的地方？
生1：條件相同，都是告訴大猴采了3筐，每筐12個。小猴采了6個。
生2：都要先算大猴采了多少個桃。
師：為什么都要先算大猴采了多少個桃呢？
生2：因為大猴采多少個桃不知道，不能直接相加、相減，所以要先算大猴采多少個桃。
生3：都是用兩步計算。
師：有什么不同的地方？
生4：第二步不一樣。一個用加法，一個用減法。
師：為什么呢？
生4：因為第一個問題是求兩只猴一共采多少個，所以要把兩只猴采的個數(shù)相加；第二個問題是求大猴比小猴多采多少個，所以要用大猴采的個數(shù)減去小猴采的個數(shù)。
師：以后解答問題時，要看清題目條件和問題，弄清先算什么，再算什么。
[教學分析]
回顧與反思是形成“策略”不可缺少的環(huán)節(jié)。有經驗的教師在學生獲得對問題的成功解決之后，會組織學生通過回顧與反思，及時把解決問題活動中所形成的潛在的、不規(guī)范的經驗改造、提煉為有意識的、規(guī)范的形態(tài)。上面的教學為我們提供了這樣一種示范：教師在學生自主探索例題與“試一試”之后，引導學生把解題的過程與方法作為研究對象，通過求同，提取思維方法中的可操作的成分；通過比異，加深對數(shù)量關系的進一步理解。學生在交流、比較、反思的過程中，逐漸把解題的感性認識提升成理性認識，并內化為可操作的經驗系統(tǒng)。
四、有效練習，在應用中深化體驗。
教育心理學家皮連生教授認為，認知策略的學習大致要經過三個階段，第一個階段是知道該策略是什么、有什么功用、包含哪些具體的操作步驟（陳述性知識階段）。第二個階段是結合該策略適用的情境，對如何運用這一策略進行練習，逐步達到能夠熟練地執(zhí)行策略的操作程序（程序性知識階段）。第三個階段是清晰地把握策略適用的條件，知道在什么時候、在什么地方使用這一策略，并主動運用和監(jiān)控這一策略的使用（元認知階段）。這三個階段非一節(jié)課所能完成，而是一個連續(xù)漸進的過程。在學生初步體驗綜合思維方法的內涵后，教師應當及時提供題材豐富、數(shù)量關系多變的問題情境，讓學生在應用方法解決問題的過程中，實現(xiàn)陳述性知識向程序性知識轉化。[教學現(xiàn)場]
1.出示“想想做做”第1題。
師：這道題告訴哪些條件？要求的問題是什么？同位兩人互相說一說，看誰說得有條理。
師：怎樣算一共要多少元呢？先獨立思考一下，再做在作業(yè)紙上。
學生匯報后，教師追問：15×2算的是什么？為什么先算它？
2.出示“想想做做”第2題。
師：怎樣算還有多少棵沒有澆？誰來說說自己的想法？
生1：我是這樣想的，先根據(jù)“有4行樹苗，每行14棵”算出一共有多少棵樹苗，再從一共的棵數(shù)里減去已經澆的棵數(shù)。
師：說的太棒了！可以先根據(jù)男孩的話算出樹苗一共的棵數(shù)，再算還沒有澆的棵數(shù)。
生2：要求還有多少棵沒有澆，就是從一共的棵數(shù)里減去已經澆的棵數(shù)，一共的棵數(shù)沒有告訴，所以要先算樹苗一共的棵數(shù)。
師：根據(jù)要求的問題去想條件，也是一種重要的思考方法。
學生獨立完成。
3.師：老師給每人準備一張卡片(注：小兔拔蘿卜情境圖)，卡片上有許多條件，還有問題。你們可以根據(jù)條件找相應的問題，也可以根據(jù)問題找相應的條件。請小朋友四人一組，找條件與問題。
1白兔拔了10個；2灰兔拔了30個；3白兔拔了2籃，4灰兔拔了3籃，
每籃5個；每籃10個。
問題：兩只兔一共拔了多少個？
白兔比灰兔少拔多少個？學生討論后，匯報。
生1：我們組選①②和“白兔比灰兔少拔多少個？”用30-10=20（個）
生2：我們組選①④和“一共拔多少個？”
師：你們是怎樣想的？
生2：根據(jù)灰兔拔了3籃，每籃10個，先算出灰兔拔了多少個，再用灰兔拔的個數(shù)加上白兔拔的個數(shù)。
生3：我們組選③④和“一共拔多少個？”
師：你們是怎樣想的？
生2：白兔拔的個數(shù)沒有告訴，灰兔拔的個數(shù)也沒有告訴。我們可以先求白兔拔了多少個，再求灰兔拔了多少個，最后把白兔拔的個數(shù)和灰兔拔的個數(shù)加起來。
[教學分析]
整個練習過程，教師的教學視點并非聚焦在學生解題的正確與否，而是突顯對基本策略的體驗上。教師通過給學生提供應用策略的廣闊背景，讓策略與解決問題的實踐相隨相伴，加深對策略要領的體驗，獲得對策略情感個體感受。首先，選擇與例題相似的“乘加”情境，讓學生重溫解決問題的過程；接著，設計“乘減”的變式情境，引導學生把例題中的思維方法向新的情境遷移；最后的選擇搭配是一項富有挑戰(zhàn)性的活動，情境給學生提供較寬的可供選擇范圍，學生帶著前面學習所獲得的成功體驗，積極參與到自主探索、小組合作學習活動中，個體的數(shù)學經驗、思維方法得以表征、凝固在活動結果上，學生不僅搭配出用一步、兩步計算的實際問題，甚至還搭配出用三步計算的實際問題。而隱藏在學生創(chuàng)造性勞動成果背后的是分析條件之間的內在聯(lián)系，綜合思維方法得以充分歷練。
綜上，分析和綜合是人們認識事物的基本思維過程，是解決問題的基本策略。具有并善于運用這些基本策略對分析問題和解決問題非常有益。讓學生掌握分析、綜合的思維方法，并內化成解決問題的策略，是一項階段性工程，絕非一日之功，需要教師結合教學內容作出整體規(guī)劃。
一是規(guī)劃各階段基本策略教學的重點。以蘇教版教材為例，教材對兩步計算的實際問題，分三段編排。第一階段，二年級下冊結合“兩位數(shù)乘一位數(shù)”教學，安排簡單的乘加、乘減問題；第二階段，三年級上冊結合“兩位數(shù)加、減兩位數(shù)口算”教學，安排“幾倍求和（差）”、“比多（少）求和”的實際問題；第三階段，結合“三位數(shù)乘（除以）一位數(shù)”教學，安排連乘（除）實際問題。結合學生的學習心理以及教學內容的實際，第一階段以綜合思維方法作為策略教學的重點；第二階段以分析思維方法作為策略教學的重點；第三階段重點是鞏固分析、綜合兩種思維方法�！耙�(guī)劃”確立了每一階段教學的側重點，使教學內容和目標更加明晰，但又要防止在教學中以一種思維方法限制、束縛學生的僵硬做法，要充分尊重學生的自主選擇。上面的教學處理得很好：練習第2題，當生2出現(xiàn)“要求還有多少棵沒有澆，就是從小樹苗一共的棵數(shù)里減去已經澆的棵數(shù)，小樹苗一共的棵數(shù)沒有告訴，所以要先算小樹苗一共的棵數(shù)�！苯處熂皶r指出：根據(jù)要求的問題去想條件，也是一種重要的思考方法。并且在隨后的選擇條件與問題搭配的練習中，教師將要求調整為“你們可以根據(jù)條件找相應的問題，也可以根據(jù)問題找相應的條件�！�
二是規(guī)劃基本策略教學的線索�；静呗缘慕虒W應當是有計劃、有意識、循序漸進的過程。教學中，應做到：前有滲透——如結合一步計算實際問題教學，引導學生收集信息，提出問題，孕育分析、綜合思路的萌芽；結合連續(xù)兩問的實際問題教學，引導學生體會第一問對第二問的作用，積累原始經驗等。中有突破——作為一種基本策略，分析和綜合既具有共性的可操作成分，又具有個體的體驗成分。這種思維方法的掌握蘊含在解決問題的過程中，落實在解決問題的步驟和方法上。因此，解決實際問題的教學，要引導學生經歷解決問題的過程，并通過對解題過程與方法的再認與反思，形成對方法的本質特點、價值及使用要領的主觀認識。后有遷移——主動、恰當?shù)剡x擇應用策略思考問題，是形成策略的重要標志。教師可以通過組織學生在復雜的情境中根據(jù)條件之間的關系提問題、“一步”與“多步”之間的擴縮練習、自主探索多步計算實際問題等活動，促使學生把已有的學習經驗遷移到新的情境中，進一步豐富對基本策略的認識，并加以穩(wěn)固下來。
<小學數(shù)學教師>2010.12
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