加法結(jié)合律在有理數(shù)運算中的應(yīng)用

　　加法結(jié)合律在有理數(shù)運算中的應(yīng)用
　　
　　江蘇　　新沂　　劉凱
　　
　　摘要：教師結(jié)合一些相關(guān)案例，主要闡述了應(yīng)用加法結(jié)合律使有理數(shù)運算簡便的幾種常用方法：湊整結(jié)合法、同號結(jié)合法、同分母結(jié)合法、同形結(jié)合法、同和結(jié)合法、拆項分解相消法。
　　
　　關(guān)鍵詞：湊整；同形；同和
　　
　　學(xué)生在初一學(xué)了加法結(jié)合律：（a+b）+c=a+ （b+c），可使復(fù)雜的計算題變得簡單易做。比如計算320+427+73，有三種方法：（1）（320+427）+73；（2）（320+73）+427；（3）320+（427+73）。我認為第三種方法最好，因為427 與73 相加可以湊成較整的數(shù)500，再計算500+320 就簡單了。
　　
　　經(jīng)過多年教學(xué)經(jīng)驗的積累與不斷的自我反思，我總結(jié)出以下幾種結(jié)合的方法。
　　
　　一、湊整結(jié)合法
　　
　　有理數(shù)加減法中有能湊成較“整”的數(shù)，如-12+32=1，2+98=100，需要學(xué)生仔細審題，獨具慧眼，看破玄機，把有特殊關(guān)系的數(shù)有機結(jié)合起來，使計算簡便。
　　
　　例1 計算：
　　
　　-23-51/2+（-77）=[（-23）+（-77）]-51/2=-100-512=-1051/2。
　　
　　另外，“互為相反數(shù)的兩數(shù)的和是零”是最常用的結(jié)合法，如-6+6=0 等。
　　
　　二、同號結(jié)合法
　　
　　在有理數(shù)的加、減混合運算中經(jīng)常用到的是同號結(jié)合法，即把正數(shù)與正數(shù)相加，負數(shù)與負數(shù)相加，然后再把所得的結(jié)果相加，學(xué)生很容易就能想到。
　　
　　例2 計算：
　　
　　（-40）-（+27）+19-24-（-32）=（[ -40）+（-27）+（-24）] +（19+32）=（-91）+51=-40。
　　
　　不過，這道題還有更簡便的結(jié)合方法：
　　
　　解：原式=（-40）+（-27）+19+（-24）+32=（-40）+（[ -27）+（-24）] +（19+32）=（-40）+（-51）+51=（-40）+（[ -51）+51]=-40+0=-40。
　　
　　但是，這樣的結(jié)合方法很少有學(xué)生能想到，這就需要教師要培養(yǎng)學(xué)生的觀察與判斷能力。
　　
　　三、同分母結(jié)合法
　　
　　分數(shù)的加減是一個難點問題，包括同分母和異分母相加減。同分母分數(shù)相加減相對來說比較簡單。因此，如果在計算時遇到有同分母分數(shù)相加減就可以把它們結(jié)合在一起，使運算簡便。
　　
　　例3 計算：
　　
　�。�1）2 7／18+31／4+1 1／18-23／4+5／6=（2 7／18+1 1／18）+（31／4-23／4）+5／6=3 8／18+1／2+5／6=3 8／18+ 91／8+ 5／18=4／79。
　　
　�。�2）1／4-（-2／3）+2／7+ 5／12+（- 3／14）=1／4+2／3+2／7+ 51／2（- 31／4）=（1／4+2／3+ 5／12）+（2／7- 3／14）。
　　
　�。ㄗⅲ�1／4、2／3、5／12結(jié)合在一起通分比較容易，2／7、3／14結(jié)合在一起通分比較容易）
　　
　　此例分數(shù)之間的結(jié)合不明顯，值得我們推敲一下。
　　
　　四、同形結(jié)合法
　　
　　在求幾個分數(shù)和其他類數(shù)字和差時，把分數(shù)與其他同類型的數(shù)分別結(jié)合，使計算簡便。
　　
　　例4 計算：
　　
　　-2.1+4／3+（-2）+2／3+0.5+（-5）=[（-2.1） +（-2）+0.5+（-5）] + （4／3+2／3）=-8.6+2=-6.6。
　　
　　（注：分數(shù)結(jié)合在一起，整數(shù)與小數(shù)結(jié)合）
　　
　　五、同和結(jié)合法
　　
　　此法適用于拓展和找規(guī)律類問題。這類問題一般項數(shù)比較多，如果從左向右依次運算是非常麻煩的，這就需要我們把思維打開，充分發(fā)揮觀察能力，并且能夠進行嘗試解析，總結(jié)出一些恰當(dāng)?shù)囊?guī)律來，使運算簡便。
　　
　　例5 快速計算：
　　
　　-1+3-5+7-…-17+19。
　　
　　通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，此例中奇數(shù)項都是負數(shù)，偶數(shù)項則都是正數(shù)，并且發(fā)現(xiàn)：-1+3=2，-5+7=2，…，-17+19=2，也就是從第一項開始，每兩項的和都等于2，一共有10 個2 相加。這樣，我們就發(fā)現(xiàn)了此題的規(guī)律，可以快速并且準(zhǔn)確地解決問題了。具體的過程如下所示：
　　
　　解：原式=（-1+3）+（-5+7）+…+（-17+19）=2+2+…+2=2×5=10。
　　
　　六、拆項分解相消法
　　
　　這個方法適用與一些探究性比較強的問題，而且難度比較大，能掌握這種方法的學(xué)生不是很多。解決這類問題，需要我們具有“一分為二”的數(shù)學(xué)思想，比如12可以寫成11×2，接著可以拆分成11-12，即1-12的形式；16可以寫成12×3，可以拆分成12-13的形式……例6 計算：1/1×3+ 1/3×5+ 1/5×7+…+ 1/99×101。
　　
　　本題與第一題形似，但又有細微的區(qū)別——本題中的分母是相鄰兩個奇數(shù)的乘積。這兩題的解法相同，但存在細節(jié)上的差異：
　　
　　解：原式=1/2×（1-1/3）+1/2×（1/3-1/5）+…+1/2×（ 1/99- 1/101）=1/2×[（1-1/3）+（1/3-1/5）+…+（ 1/99-1/101）]。
　　
　�。ㄗⅲ阂韵陆忸}過程同（1））
　　
　　經(jīng)過拆項分解，把互為相反數(shù)的兩項結(jié)合起來達到消項的目的，使計算變得非常簡單易做。
　　
　　以上是我根據(jù)自己的教學(xué)實際情況總結(jié)出來的一些規(guī)律，我們在運用時，要根據(jù)具體問題，靈活地選擇恰當(dāng)?shù)姆椒�，才能達到事半功倍的效果。
　　
　　參考文獻：
　　
　　[1]翟運勝。《加法交換律和加法結(jié)合律》教學(xué)設(shè)計及意圖[J].教學(xué)與管理，2009（12）。
　　
　　[2]趙長巧“。 運算律（加法交換律和加法結(jié)合律）”教學(xué)設(shè)計[J]. 中學(xué)教學(xué)參考，2011（2）。
　　
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