多項(xiàng)式的乘法

教學(xué)建議

　　一、知識(shí)結(jié)構(gòu)

　　二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

　　本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)是利用公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab熟練地計(jì)算．難點(diǎn)是理解并掌握公式．本節(jié)內(nèi)容是進(jìn)一步學(xué)習(xí)乘法公式及后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ)．

　　1．多項(xiàng)式乘法法則，是多次運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則得到的．計(jì)算 時(shí)，先把 看成一個(gè)單項(xiàng)式， 是一個(gè)多項(xiàng)式，運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，得到

　　然后再次運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，得到：

　　2．含有一個(gè)相同字母的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘，得到的積是同一字母的二次三項(xiàng)式，它的二次項(xiàng)由兩個(gè)因式中的一次項(xiàng)相乘得到；積的一次項(xiàng)是由兩個(gè)因式中的常數(shù)基分別乘以兩個(gè)因式中的一次項(xiàng)后，合并同類項(xiàng)得到；積的常數(shù)項(xiàng)等于兩個(gè)因式中常數(shù)項(xiàng)的積．如果因式中一次項(xiàng)的系數(shù)都是1，那么積的二次項(xiàng)系數(shù)也是1，積的一次項(xiàng)系數(shù)等于兩個(gè)因式中的常數(shù)項(xiàng)的和，這就是說(shuō)，如果用 、 分別表示一個(gè)含有系數(shù)是1的相同字母的兩個(gè)一次二項(xiàng)式中的常數(shù)項(xiàng)，則有

　　3．在進(jìn)行兩個(gè)多項(xiàng)式相乘、直接寫出結(jié)果時(shí)，注意不要“漏項(xiàng)”．檢查的辦法是：兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在沒(méi)有合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是這兩個(gè)多基同甘共苦的積．如 積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是 ，即六項(xiàng)：

　　當(dāng)然，如有同類項(xiàng)則應(yīng)合并，得出最簡(jiǎn)結(jié)果．

　　4．運(yùn)用多項(xiàng)式乘法法則時(shí)，必須做到不重不漏，為此，相乘時(shí)，要按一定的順序進(jìn)行．例如， ，可先用第一個(gè)多項(xiàng)式中的第一項(xiàng)“ ”分別與第二個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再用第一個(gè)多項(xiàng)式中的第二項(xiàng)“ ”分別與第二個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，然后把所得的積相加，即 ．

　　5．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式．在合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)該等于兩個(gè)多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)之積．

　　6．注意確定積中每一項(xiàng)的符號(hào)，多項(xiàng)式中每一項(xiàng)都包含它前面的符號(hào)，“同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)”．

　　三、教法建議

　　教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

　�。�1）要防止兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，直接寫出結(jié)果時(shí)“漏項(xiàng)”．檢查的辦法是：兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，在沒(méi)有合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是這兩個(gè)多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積．如 ，

　　積的項(xiàng)數(shù)應(yīng)是 ，即四項(xiàng) 當(dāng)然，如有同類項(xiàng)，則應(yīng)合并同類項(xiàng)，得出最簡(jiǎn)結(jié)果．

　�。�2）要不失時(shí)機(jī)地指出：多項(xiàng)式是單項(xiàng)式的和，每一項(xiàng)都包括前面的符號(hào)，在計(jì)算時(shí)一定要注意確定積中各項(xiàng)的符號(hào)．

　　（3）例2的第（1）小題是乘法的平方差公式，例2的第（2）小題是兩數(shù)和的完全平方公式．實(shí)際上任何乘法公式都是直接用多項(xiàng)式乘法計(jì)算出來(lái)的．然后，我們把這種特殊形式的乘法連同它的結(jié)果作為公式．這里只是為后面學(xué)習(xí)乘法公式作準(zhǔn)備，不必提它們是乘法公式，分散學(xué)生的注意力．當(dāng)然，在講解這個(gè)1題時(shí)，要講清它們?cè)诤喜⑼�類�?xiàng)前的項(xiàng)數(shù)．

　�。�4）例3是另一種形式的多項(xiàng)式的乘法，要講清楚兩個(gè)因式的特點(diǎn)，積與兩個(gè)因式的關(guān)系．總之，要講清楚這種特殊形式的兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的規(guī)律，使學(xué)生在計(jì)算這種類型的題目時(shí)，能夠迅速地求得結(jié)果．如對(duì)于練習(xí)第1題中的

，

　　等等，能夠直接寫出結(jié)果．

 

教學(xué)設(shè)計(jì)示例

　　一、教學(xué)目標(biāo)

　　1．理解和掌握單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則及其推導(dǎo)過(guò)程．

　　2．熟練運(yùn)用法則進(jìn)行單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法計(jì)算．

　　3．通過(guò)用文字概括法則，提高學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)能力．

　　4．通過(guò)反饋練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．

　　5．滲透公式恒等變形的和諧美、簡(jiǎn)潔美．

　　二、學(xué)法引導(dǎo)

　　1．教學(xué)方法：討論法、講練結(jié)合法．

　　2．學(xué)生學(xué)法：本節(jié)主要學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式的乘法法則和一個(gè)特殊的二項(xiàng)式乘法公式，在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意分析和比較這一法則和公式的關(guān)系，事實(shí)上它們是一般與特殊的關(guān)系．當(dāng)遇到多項(xiàng)式乘法時(shí)，首先要看它是不是 的形式，若是則可以用公式直接寫出結(jié)果，若不是再應(yīng)用法則計(jì)算．

　　三、重點(diǎn)、難點(diǎn)及解決辦法

　　（一）重點(diǎn)

　　多項(xiàng)式乘法法則．

　�。ǘ�）難點(diǎn)

　　利用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則推導(dǎo)本節(jié)法則．

　　（三）解決辦法

　　在用面積法推導(dǎo)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法法則過(guò)程中，應(yīng)讓學(xué)生充分理解多項(xiàng)式乘法法則的幾何意義，這樣既便于學(xué)生理解記憶公式，又能讓學(xué)生在解題過(guò)程中準(zhǔn)確地使用．

　　四、課時(shí)安排

　　一課時(shí)．

　　五、教具學(xué)具準(zhǔn)備

　　投影儀或電腦、自制膠片、長(zhǎng)方形演示紙板．

　　六、師生互動(dòng)活動(dòng)設(shè)計(jì)

　　1．設(shè)計(jì)一組練習(xí)，以檢查學(xué)生單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的掌握情況．

　　2．嘗試從多角度理解多項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法：

　　（1）把 看成一單項(xiàng)式時(shí)，

　　　　 ．

　�。�2）把 看成一單項(xiàng)式時(shí)，

　　　　 ．

　　（3）利用面積法 

　　3．在理解上述過(guò)程的基礎(chǔ)之上，引導(dǎo)學(xué)生歸納并指出多項(xiàng)式乘法的規(guī)律．

　　4．通過(guò)舉例，教師的示范，學(xué)生的嘗試練習(xí)，不斷鞏固新學(xué)的知識(shí)．對(duì)于遇到的特殊二項(xiàng)式相乘可利用特殊的公式加以解決，并注意一般與特殊的關(guān)系．

　　七、教學(xué)步驟

　�。ㄒ唬┟鞔_目標(biāo)

　　本節(jié)課將學(xué)習(xí)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的乘法法則及其特殊形式的公式的應(yīng)用．

　�。ǘ�）整體感知

　　多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的相乘關(guān)鍵在于展開式中的四項(xiàng)是如何得到的，這里教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察、品味法則的規(guī)律性，實(shí)質(zhì)就在于讓一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)遍乘既不能漏又不能重復(fù)．對(duì)特殊的多項(xiàng)式相乘可運(yùn)用特殊的辦法去處理

　�。ㄈ�）教學(xué)過(guò)程

　　1．創(chuàng)設(shè)情境，復(fù)習(xí)導(dǎo)入

（1）回憶單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則.

　�。�2）計(jì)算：

　�、� 　　　　　②

　�、� 　�、�

　　學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在練習(xí)本上完成，然后回答結(jié)果．

　　【教法說(shuō)明】多項(xiàng)式乘法是以單項(xiàng)式乘法和單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘為基礎(chǔ)的，通過(guò)復(fù)習(xí)引起學(xué)生回憶，為本節(jié)學(xué)習(xí)提供鋪墊和思想基礎(chǔ)．

　　2．探索新知，講授新課

　　今天，我們?cè)谝郧皩W(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)多項(xiàng)式的乘法．

　　多項(xiàng)式的乘法就是形如 的計(jì)算．

　　這里 都表示單項(xiàng)式，因此 表示多項(xiàng)式相乘，那么如何對(duì) 進(jìn)行計(jì)算呢？若把 看成一個(gè)單項(xiàng)式，能否利用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則計(jì)算呢？請(qǐng)同桌同學(xué)互相討論，并試著進(jìn)行計(jì)算．

　　學(xué)生活動(dòng)：同桌討論，并試著計(jì)算（教師適當(dāng)引導(dǎo)），學(xué)生回答結(jié)論．

　

　　　　　　

　　【教法說(shuō)明】多項(xiàng)式乘法法則，是兩次運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則得到的．這里的關(guān)鍵在于讓學(xué)生理解，將 看成一個(gè)單項(xiàng)式，然后運(yùn)用單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則進(jìn)行計(jì)算，讓學(xué)生討論并試著計(jì)算，目的是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，鼓勵(lì)學(xué)生積極探索知識(shí)、善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律、主動(dòng)參與學(xué)習(xí)．

　　3．總結(jié)規(guī)律，揭示法則

　　對(duì)于 的計(jì)算過(guò)程可以表示為：

　　

　　教師引導(dǎo)學(xué)生用文字表述多項(xiàng)式乘法法則：

　　多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加．

　　如計(jì)算 ： 看成公式中的 ；－1看成公式中的 ； 看成公式中的 ；3看成公式中的 ．運(yùn)用法則 中的每一項(xiàng)分別去乘 中的每一項(xiàng)，計(jì)算可得： ．

　　學(xué)生活動(dòng)：在教師引導(dǎo)下細(xì)心觀察、品味法則．

　　【教法說(shuō)明】借助算式圖，指出 的得出過(guò)程，實(shí)質(zhì)就是用一個(gè)多項(xiàng)式的“每一項(xiàng)”乘另一個(gè)多項(xiàng)式的“每一項(xiàng)”，再把所得積相加的過(guò)程．可以達(dá)到兩個(gè)目的：一是直觀揭示法則，有利于學(xué)生理解；二是防止學(xué)生出現(xiàn)運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算時(shí)“漏項(xiàng)”的錯(cuò)誤，強(qiáng)調(diào)法則，加深理解，同時(shí)明確多項(xiàng)式是單項(xiàng)式的和，每一項(xiàng)都包括前面的符號(hào)．

　　這個(gè)法則還可利用一個(gè)圖形明顯地表示出來(lái)．

　　

　�。�1）這個(gè)長(zhǎng)方形的面積用代數(shù)式表示為_____________．

　�。�2）Ⅰ的面積為________；Ⅱ的面積為________；Ⅲ的面積為________；Ⅳ的面積為_______．

　　結(jié)論：即 ．

　　學(xué)生活動(dòng)：隨著教師的演示，邊思考，邊回答問(wèn)題．

　　【教法說(shuō)明】利用圖形的直觀性，使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握這一法則，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析圖形的能力．

　　4．運(yùn)用知識(shí)，嘗試解題

　　例1  計(jì)算：

　　（1） 　　�。�2）

　　（3）

　　解：（1）原式

　　　　

　�。�2）原式

　　　　

　　　　（3）原式

　　　　

　　【教法說(shuō)明】例1的目的是熟悉、理解法則．完成例1時(shí)，要求學(xué)生緊扣法則，按法則的文字?jǐn)�發(fā)“一步步”解題，注意最后要合并同類項(xiàng)．讓學(xué)生參與例題的解答，旨在強(qiáng)化學(xué)生的參與意識(shí)，使其主動(dòng)思考．

　　例2  計(jì)算：

　�。�1） 　　�。�2）

　　學(xué)生活動(dòng)：在教師引導(dǎo)下，說(shuō)出解題過(guò)程．

　　解：（1）原式

　　　　

　�。�2）原式

　　　　

　　【教法說(shuō)明】例2的兩個(gè)小題是后面要講到的乘法公式，但目前仍按多項(xiàng)式乘法法則計(jì)算，無(wú)需說(shuō)明它們是乘法公式，此題的目的在于為后面的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備．

　　5．強(qiáng)化訓(xùn)練，鞏固知識(shí)

　�。�1）計(jì)算：

　　① 　　�、�

　　③ 　　　　�、�

　�、� 　�、�

　�。�2）計(jì)算：

　　① 　　�、�

　�、� 　�、�

　�、� 　　⑥

　�、� 　　　　　⑧

　　學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生在練習(xí)本上完成．

　　【教法說(shuō)明】本組練習(xí)的目的是：①使學(xué)生進(jìn)一步理解法則，熟練運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算．②訓(xùn)練學(xué)生計(jì)算的準(zhǔn)確性，培養(yǎng)計(jì)算能力．③對(duì)乘法公式先有一個(gè)模糊印象，為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)．

　　（四）總結(jié)、擴(kuò)展

　　這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了多項(xiàng)式乘法法則，請(qǐng)同學(xué)們回答問(wèn)題：

　　1．?dāng)⑹龆囗?xiàng)式乘法法則．

　　2．談?wù)勥@節(jié)課你的學(xué)習(xí)體會(huì)．

　　學(xué)生活動(dòng)：學(xué)生分別回答上述問(wèn)題．

　　【教法說(shuō)明】通過(guò)讓學(xué)生自己談學(xué)習(xí)體會(huì)，既可以達(dá)到總結(jié)歸納本節(jié)知識(shí)的目的，形成完整印象，又可以提高學(xué)生的總結(jié)概括能力．

　　八、布置作業(yè)

　　P120  A組　1．（1）（3）（5）（7），2．（2）（3），3．（1）（3）（8）．

　　參考答案

　　1．（1）原式

　　（3）原式

　�。�5）原式

　�。�7）原式

　　2．（2）原式

　　　　

　　　　

　�。�3）原式

　　　　

　　　　

　　3．（1）原式

　�。�3）原式

　�。�8）原式

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