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數(shù)學教案－解直角三角形
教學建議
1．知識結(jié)構(gòu)：
本小節(jié)主要學習解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五個元素之間的關(guān)系以及直角三角形的解法.
2．重點和難點分析：
教學重點和難點：直角三角形的解法.
本節(jié)的重點和難點是直角三角形的解法.為了使學生熟練掌握直角三角形的解法，首先要使學生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三邊之間的關(guān)系，兩銳角之間的關(guān)系，邊角之間的關(guān)系.正確選用這些關(guān)系，是正確、迅速地解直角三角形的關(guān)鍵.
3. 深刻認識銳角三角函數(shù)的定義，理解三角函數(shù)的表達式向方程的轉(zhuǎn)化.
銳角三角函數(shù)的定義：
實際上分別給了三個量的關(guān)系：a、b、c是邊的長、、和是由用不同方式來決定的三角函數(shù)值，它們都是實數(shù)，但它與代數(shù)式的不同點在于三角函數(shù)的值是有一個銳角的數(shù)值參與其中.
當這三個實數(shù)中有兩個是已知數(shù)時，它就轉(zhuǎn)化為一個一元方程，解這個方程，就求出了一個直角三角形的未知的元素.
如：已知直角三角形ABC中，，求BC邊的長.
畫出圖形，可知邊AC，BC和三個元素的關(guān)系是正切函數(shù)（或余切函數(shù)）的定義給出的，所以有等式
，
由于，它實際上已經(jīng)轉(zhuǎn)化了以BC為未知數(shù)的代數(shù)方程，解這個方程，得
.
即得BC的長為.
又如，已知直角三角形斜邊的長為35.42cm，一條直角邊的長29.17cm，求另一條邊所對的銳角的大小.
畫出圖形，可設(shè)中，，于是，求的大小時，涉及的三個元素的關(guān)系是
也就是
這時，就把以為未知數(shù)的代數(shù)方程轉(zhuǎn)化為了以為未知數(shù)的方程，經(jīng)查三角函數(shù)表，得
.
由此看來，表達三角函數(shù)的定義的4個等式，可以轉(zhuǎn)化為求邊長的方程，也可以轉(zhuǎn)化為求角的方程，所以成為解三角形的重要工具.
4. 直角三角形的解法可以歸納為以下4種，列表如下：
5. 注意非直角三角形問題向直角三角形問題的轉(zhuǎn)化
由上述（3）可以看到，只要已知條件適當，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不僅使直角三角形的計算問題得到徹底的解決，而且給非直角三角形圖形問題的解決鋪平了道路.不難想到，只要能把非直角三角形的圖形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，就可以通過解直角三角形而獲得解決.請看下例.
例如，在銳角三角形ABC中，，求這個三角形的未知的邊和未知的角（如圖）
這是一個銳角三角形的解法的問題，我們只需作出BC邊上的高（想一想：作其它邊上的高為什么不好.），問題就轉(zhuǎn)化為兩個解直角三角形的問題.
在Rt中，有兩個獨立的條件，具備求解的條件，而在Rt中，只有已知條件，暫時不具備求解的條件，但高AD可由解時求出，那時，它也將轉(zhuǎn)化為可解的直角三角形，問題就迎刃而解了.解法如下：
解：作于D，在Rt中，有
��；
又，在Rt中，有
∴
又，
∴
于是，有
由此可知，掌握非直角三角形的圖形向直角三角形轉(zhuǎn)化的途徑和方法是十分重要的，如
�。�1）作高線可以把銳角三角形或鈍角三角形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形.
�。�2）作高線可以把平行四邊形、梯形轉(zhuǎn)化為含直角三角形的圖形.
�。�3）連結(jié)對角線，可以把矩形、菱形和正方形轉(zhuǎn)化為含直角三角形的圖形.
�。�4）如圖，等腰三角形AOB是正n邊形的n分之一.作它的底邊上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半徑，OM是邊心距，AB是邊長的一半，銳角.
6. 要善于把某些實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.
很多實際問題都可以歸結(jié)為圖形的計算問題，而圖形計算問題又可以歸結(jié)為解直角三角形問題.
我們知道，機器上用的螺絲釘問題可以看作計算問題，而圓柱的側(cè)面可以看作是長方形圍成的（如圖）.螺紋是以一定的角度旋轉(zhuǎn)上升，使得螺絲旋轉(zhuǎn)時向前推進，問直徑是6mm的螺絲釘，若每轉(zhuǎn)一圈向前推進1.25mm，螺紋的初始角應(yīng)是多少度多少分？
據(jù)題意，螺紋轉(zhuǎn)一周時，把側(cè)面展開可以看作一個直角三角形，直角邊AC的長為
，
另一條直角邊為螺釘推進的距離，所以
，
設(shè)螺紋初始角為，則在Rt中，有
∴.
即，螺紋的初始角約為 .
這個例子說明，生產(chǎn)和生活中有很多實際問題都可以抽象為一個解直角三角形問題，我們應(yīng)當注意培養(yǎng)這種把數(shù)學知識應(yīng)用于實際生活的意識和能力.
一、教學目標
1．使學生掌握直角三角形的邊角關(guān)系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形；
2．通過綜合運用勾股定理，直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力；
3．通過本節(jié)的學習，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，培養(yǎng)他們良好的學習習慣.
二、重點·難點·疑點及解決辦法
1．重點：直角三角形的解法。
2．難點：三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運用。
3．疑點：學生可能不理解在已知的兩個元素中，為什么至少有一個是邊。
4．解決辦法：設(shè)置疑問，引導學生主動發(fā)現(xiàn)方法與途徑，解決重難點，以相似三角形知識為背景解決疑點。
三、教學步驟
�。ㄒ唬┟鞔_目標
1．在三角形中共有幾個元素？
2．如圖直角三角形ABC中，這五個元素間有哪些等量關(guān)系呢？
（1）邊角之間關(guān)系
�。�2）三邊之間關(guān)系
（勾股定理）
�。�3）銳角之間關(guān)系 。
以上三點正是解直角三角形的依據(jù)，通過復習，使學生便于應(yīng)用。
�。ǘ┱w感知
教材在繼銳角三角函數(shù)后安排解直角三角形，目的是運用銳用三角函數(shù)知識，對其加以復習鞏固。同時，本課又為以后的應(yīng)用舉例打下基礎(chǔ)。因此在把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題之后，就是運用本課——解直角三角形的知識來解決的。綜上所述，解直角三角形一課在本章中是起到承上啟下作用的重要一課。
�。ㄈ�教學過程（325224.com）
1．我們已掌握Rt的邊角關(guān)系、三邊關(guān)系、角角關(guān)系，利用這些關(guān)系，在知道其中的兩個元素（至少有一個是邊）后，就可求出其余的元素。這樣的導語既可以使學生大概了解解直角三角形的概念，同時又陷入思考，為什么兩個已知元素中必有一條邊呢，激發(fā)了學生的學習熱情。
2．教師在學生思考后，繼續(xù)引導“為什么兩個已知元素中至少有一條邊？”讓全體學生的思維目標一致，在作出準確回答后，教師請學生概括什么是解直角三角形？（由直角三角形中除直角外的兩個已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形）。
3．例題
【例1】 在中，為直角，所對的邊分別為，且，解這個三角形。
解直角三角形的方法很多，靈活多樣，學生完全可以自己解決，但例題具有示范作用。因此，此題在處理時，首先，應(yīng)讓學生獨立完成，培養(yǎng)其分析問題、解決問題能力，同時滲透數(shù)形結(jié)合的思想。其次，教師組織學生比較各種方法中哪些較好，選一種板演。
解：（1），
（2），
∴
�。�3）
∴
完成之后引導學生小結(jié)“已知一邊一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后選取恰當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式求另兩邊。計算時，利用所求的量如不比原始數(shù)據(jù)簡便的話，最好用題中原始數(shù)據(jù)計算，這樣誤差小些，也比較可靠，防止第一步錯導致一錯到底。
【例2】 在Rt中，，解這個三角形。
在學生獨立完成之后，選出最好方法，教師板書。
解：（1），
查表得；
�。�2）
�。�3），
∴。
注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理來計算，這時要查平方表和平方根表，這樣做有時會比上面用含四位有效數(shù)字的數(shù)乘（或除）以另一含四位有效數(shù)字的數(shù)要方便一些。但先后要查兩次表，并作一次加法（或減法）或者使用計算器求平方、平方根及三角正數(shù)值等。
4．鞏固練習
解直角三角形是解實際應(yīng)用題的基礎(chǔ)，因此必須使學生熟練掌握。為此，教材配備了練習P．23中1、2練習1針對各種條件，使學生熟練解直角三角形；練習2代入數(shù)據(jù)，培養(yǎng)學生運算能力。
[參考答案]
1．（1）；
�。�2）由求出或；
�。�3），
或；
�。�4）或。
2．（1）；
（2）。
說明：解直角三角形計算上比較繁瑣，條件好的學校允許用計算器。但無論是否使用計算器，都必須寫出解直角三角形的整個過程。要求學生認真對待這些題目，不要馬馬虎虎，努力防止出錯，培養(yǎng)其良好的學習習慣。
�。ㄋ模┛偨Y(jié)擴展
1．請學生小結(jié)：在直角三角形中，除直角外還有五個元素，知道兩個元素（至少有一個是邊），就可以求出另三個元素。
2．幻燈片出示圖表，請學生完成
四、布置作業(yè)
教材P．32習題6．4A組3。
[參考答案]
3．；
五、板書設(shè)計
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