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解直角三角形
教學(xué)建議
1．知識(shí)結(jié)構(gòu)：
本小節(jié)主要學(xué)習(xí)解直角三角形的概念，直角三角形中除直角外的五個(gè)元素之間的關(guān)系以及直角三角形的解法.
2．重點(diǎn)和難點(diǎn)分析：
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：直角三角形的解法.
本節(jié)的重點(diǎn)和難點(diǎn)是直角三角形的解法.為了使學(xué)生熟練掌握直角三角形的解法，首先要使學(xué)生知道什么叫做解直角三角形，直角三角形中三邊之間的關(guān)系，兩銳角之間的關(guān)系，邊角之間的關(guān)系.正確選用這些關(guān)系，是正確、迅速地解直角三角形的關(guān)鍵.
3. 深刻認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)的定義，理解三角函數(shù)的表達(dá)式向方程的轉(zhuǎn)化.
銳角三角函數(shù)的定義：
實(shí)際上分別給了三個(gè)量的關(guān)系：a、b、c是邊的長(zhǎng)、、和是由用不同方式來(lái)決定的三角函數(shù)值，它們都是實(shí)數(shù)，但它與代數(shù)式的不同點(diǎn)在于三角函數(shù)的值是有一個(gè)銳角的數(shù)值參與其中.
當(dāng)這三個(gè)實(shí)數(shù)中有兩個(gè)是已知數(shù)時(shí)，它就轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元方程，解這個(gè)方程，就求出了一個(gè)直角三角形的未知的元素.
如：已知直角三角形ABC中，，求BC邊的長(zhǎng).
畫出圖形，可知邊AC，BC和三個(gè)元素的關(guān)系是正切函數(shù)（或余切函數(shù)）的定義給出的，所以有等式
，
由于，它實(shí)際上已經(jīng)轉(zhuǎn)化了以BC為未知數(shù)的代數(shù)方程，解這個(gè)方程，得
.
即得BC的長(zhǎng)為.
又如，已知直角三角形斜邊的長(zhǎng)為35.42cm，一條直角邊的長(zhǎng)29.17cm，求另一條邊所對(duì)的銳角的大小.
畫出圖形，可設(shè)中，，于是，求的大小時(shí)，涉及的三個(gè)元素的關(guān)系是
也就是
這時(shí)，就把以為未知數(shù)的代數(shù)方程轉(zhuǎn)化為了以為未知數(shù)的方程，經(jīng)查三角函數(shù)表，得
.
由此看來(lái)，表達(dá)三角函數(shù)的定義的4個(gè)等式，可以轉(zhuǎn)化為求邊長(zhǎng)的方程，也可以轉(zhuǎn)化為求角的方程，所以成為解三角形的重要工具.
4. 直角三角形的解法可以歸納為以下4種，列表如下：
5. 注意非直角三角形問(wèn)題向直角三角形問(wèn)題的轉(zhuǎn)化
由上述（3）可以看到，只要已知條件適當(dāng)，所有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不僅使直角三角形的計(jì)算問(wèn)題得到徹底的解決，而且給非直角三角形圖形問(wèn)題的解決鋪平了道路.不難想到，只要能把非直角三角形的圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題，就可以通過(guò)解直角三角形而獲得解決.請(qǐng)看下例.
例如，在銳角三角形ABC中，，求這個(gè)三角形的未知的邊和未知的角（如圖）
這是一個(gè)銳角三角形的解法的問(wèn)題，我們只需作出BC邊上的高（想一想：作其它邊上的高為什么不好.），問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)解直角三角形的問(wèn)題.
在Rt中，有兩個(gè)獨(dú)立的條件，具備求解的條件，而在Rt中，只有已知條件，暫時(shí)不具備求解的條件，但高AD可由解時(shí)求出，那時(shí)，它也將轉(zhuǎn)化為可解的直角三角形，問(wèn)題就迎刃而解了.解法如下：
解：作于D，在Rt中，有
��；
又，在Rt中，有
∴
又，
∴
于是，有
由此可知，掌握非直角三角形的圖形向直角三角形轉(zhuǎn)化的途徑和方法是十分重要的，如
（1）作高線可以把銳角三角形或鈍角三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形.
�。�2）作高線可以把平行四邊形、梯形轉(zhuǎn)化為含直角三角形的圖形.
（3）連結(jié)對(duì)角線，可以把矩形、菱形和正方形轉(zhuǎn)化為含直角三角形的圖形.
（4）如圖，等腰三角形AOB是正n邊形的n分之一.作它的底邊上的高，就得到直角三角形OAM，OA是半徑，OM是邊心距，AB是邊長(zhǎng)的一半，銳角.
6. 要善于把某些實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問(wèn)題.
很多實(shí)際問(wèn)題都可以歸結(jié)為圖形的計(jì)算問(wèn)題，而圖形計(jì)算問(wèn)題又可以歸結(jié)為解直角三角形問(wèn)題.
我們知道，機(jī)器上用的螺絲釘問(wèn)題可以看作計(jì)算問(wèn)題，而圓柱的側(cè)面可以看作是長(zhǎng)方形圍成的（如圖）.螺紋是以一定的角度旋轉(zhuǎn)上升，使得螺絲旋轉(zhuǎn)時(shí)向前推進(jìn)，問(wèn)直徑是6mm的螺絲釘，若每轉(zhuǎn)一圈向前推進(jìn)1.25mm，螺紋的初始角應(yīng)是多少度多少分？
據(jù)題意，螺紋轉(zhuǎn)一周時(shí)，把側(cè)面展開(kāi)可以看作一個(gè)直角三角形，直角邊AC的長(zhǎng)為
，
另一條直角邊為螺釘推進(jìn)的距離，所以
，
設(shè)螺紋初始角為，則在Rt中，有
∴.
即，螺紋的初始角約為 .
這個(gè)例子說(shuō)明，生產(chǎn)和生活中有很多實(shí)際問(wèn)題都可以抽象為一個(gè)解直角三角形問(wèn)題，我們應(yīng)當(dāng)注意培養(yǎng)這種把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活的意識(shí)和能力.
一、教學(xué)目標(biāo)
1．使學(xué)生掌握直角三角形的邊角關(guān)系，會(huì)運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形；
2．通過(guò)綜合運(yùn)用勾股定理，直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力；
3．通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)他們良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.
二、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法
1．重點(diǎn)：直角三角形的解法。
2．難點(diǎn)：三角函數(shù)在解直角三角形中的靈活運(yùn)用。
3．疑點(diǎn)：學(xué)生可能不理解在已知的兩個(gè)元素中，為什么至少有一個(gè)是邊。
4．解決辦法：設(shè)置疑問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)方法與途徑，解決重難點(diǎn)，以相似三角形知識(shí)為背景解決疑點(diǎn)。
三、教學(xué)步驟
�。ㄒ唬┟鞔_目標(biāo)
1．在三角形中共有幾個(gè)元素？
2．如圖直角三角形ABC中，這五個(gè)元素間有哪些等量關(guān)系呢？
（1）邊角之間關(guān)系
�。�2）三邊之間關(guān)系
�。ü垂啥ɡ恚�
（3）銳角之間關(guān)系 。
以上三點(diǎn)正是解直角三角形的依據(jù)，通過(guò)復(fù)習(xí)，使學(xué)生便于應(yīng)用。
�。ǘ┱w感知
教材在繼銳角三角函數(shù)后安排解直角三角形，目的是運(yùn)用銳用三角函數(shù)知識(shí)，對(duì)其加以復(fù)習(xí)鞏固。同時(shí)，本課又為以后的應(yīng)用舉例打下基礎(chǔ)。因此在把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題之后，就是運(yùn)用本課——解直角三角形的知識(shí)來(lái)解決的。綜上所述，解直角三角形一課在本章中是起到承上啟下作用的重要一課。
�。ㄈ�教學(xué)過(guò)程
1．我們已掌握Rt的邊角關(guān)系、三邊關(guān)系、角角關(guān)系，利用這些關(guān)系，在知道其中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊）后，就可求出其余的元素。這樣的導(dǎo)語(yǔ)既可以使學(xué)生大概了解解直角三角形的概念，同時(shí)又陷入思考，為什么兩個(gè)已知元素中必有一條邊呢，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。
2．教師在學(xué)生思考后，繼續(xù)引導(dǎo)“為什么兩個(gè)已知元素中至少有一條邊？”讓全體學(xué)生的思維目標(biāo)一致，在作出準(zhǔn)確回答后，教師請(qǐng)學(xué)生概括什么是解直角三角形？（由直角三角形中除直角外的兩個(gè)已知元素，求出所有未知元素的過(guò)程，叫做解直角三角形）。
3．例題
【例1】 在中，為直角，所對(duì)的邊分別為，且，解這個(gè)三角形。
解直角三角形的方法很多，靈活多樣，學(xué)生完全可以自己解決，但例題具有示范作用。因此，此題在處理時(shí)，首先，應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立完成，培養(yǎng)其分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力，同時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合的思想。其次，教師組織學(xué)生比較各種方法中哪些較好，選一種板演。
解：（1），
（2），
∴
�。�3）
∴
完成之后引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)“已知一邊一角，如何解直角三角形？”
答：先求另外一角，然后選取恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式求另兩邊。計(jì)算時(shí)，利用所求的量如不比原始數(shù)據(jù)簡(jiǎn)便的話，最好用題中原始數(shù)據(jù)計(jì)算，這樣誤差小些，也比較可靠，防止第一步錯(cuò)導(dǎo)致一錯(cuò)到底。
【例2】 在Rt中，，解這個(gè)三角形。
在學(xué)生獨(dú)立完成之后，選出最好方法，教師板書。
解：（1），
查表得；
（2）
�。�3），
∴。
注意：例1中的b和例2中的c都可以利用勾股定理來(lái)計(jì)算，這時(shí)要查平方表和平方根表，這樣做有時(shí)會(huì)比上面用含四位有效數(shù)字的數(shù)乘（或除）以另一含四位有效數(shù)字的數(shù)要方便一些。但先后要查兩次表，并作一次加法（或減法）或者使用計(jì)算器求平方、平方根及三角正數(shù)值等。
4．鞏固練習(xí)
解直角三角形是解實(shí)際應(yīng)用題的基礎(chǔ)，因此必須使學(xué)生熟練掌握。為此，教材配備了練習(xí)P．23中1、2練習(xí)1針對(duì)各種條件，使學(xué)生熟練解直角三角形；練習(xí)2代入數(shù)據(jù)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力。
[參考答案]
1．（1）；
�。�2）由求出或；
（3），
或；
�。�4）或。
2．（1）；
�。�2）。
說(shuō)明：解直角三角形計(jì)算上比較繁瑣，條件好的學(xué)校允許用計(jì)算器。但無(wú)論是否使用計(jì)算器，都必須寫出解直角三角形的整個(gè)過(guò)程。要求學(xué)生認(rèn)真對(duì)待這些題目，不要馬馬虎虎，努力防止出錯(cuò)，培養(yǎng)其良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
�。ㄋ模┛偨Y(jié)擴(kuò)展
1．請(qǐng)學(xué)生小結(jié)：在直角三角形中，除直角外還有五個(gè)元素，知道兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可以求出另三個(gè)元素。
2．幻燈片出示圖表，請(qǐng)學(xué)生完成
四、布置作業(yè)
教材P．32習(xí)題6．4A組3。
[參考答案]
3．；
五、板書設(shè)計(jì)
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