四種命題

教學(xué)目標(biāo)

　�。�1）理解四種命題的概念；
　�。�2）理解四種命題之間的相互關(guān)系，能由原命題寫出其他三種形式；
　　（3）理解一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題真假間的關(guān)系；
　�。�4）初步掌握反證法的概念及反證法證題的基本步驟；
　�。�5）通過對(duì)四種命題之間關(guān)系的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力；
　�。�6）通過對(duì)四種命題的存在性和相對(duì)性的認(rèn)識(shí)，進(jìn)行辯證唯物主義觀點(diǎn)教育；
　�。�7）培養(yǎng)學(xué)生用反證法簡單推理的技能，從而發(fā)展學(xué)生的思維能力．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：四種命題之間的關(guān)系；難點(diǎn)：反證法的運(yùn)用．

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

第一課時(shí)：四種命題

一、導(dǎo)入新課

　　【練習(xí)】 1．把下列命題改寫成“若 則 ”的形式：
　�。╨）同位角相等，兩直線平行；
　�。�2）正方形的四條邊相等．

　　2．什么叫互逆命題？上述命題的逆命題是什么？
　　將命題寫成“若 則 ”的形式，關(guān)鍵是找到命題的條件 與結(jié)論 ．
　　如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互道命題．
　　上述命題的道命題是“若一個(gè)四邊形的四條邊相等，則它是正方形”和“若兩條直線平行，則同位角相等”．
　　值得指出的是原命題和逆命題是相對(duì)的．我們也可以把逆命題當(dāng)成原命題，去求它的逆命題．
　   3．原命題真，逆命題一定真嗎？
　　 “同位角相等，兩直線平行”這個(gè)原命題真，逆命題也真．但“正方形的四條邊相等”的原命題真，逆命題就不真，所以原命題真，逆命題不一定真．

學(xué)生活動(dòng)：

　　口答：（l）若同位角相等，則兩直線平行；（2）若一個(gè)四邊形是正方形，則它的四條邊相等．

設(shè)計(jì)意圖：

　　通過復(fù)習(xí)舊知識(shí)，打下學(xué)習(xí)否命題、逆否命題的基礎(chǔ)．

二、新課

　　【設(shè)問】命題“同位角相等，兩條直線平行”除了能構(gòu)成它的逆命題外，是否還可以構(gòu)成其它形式的命題？
　　【講述】可以將原命題的條件和結(jié)論分別否定，構(gòu)成“同位角不相等，則兩直線不平行”，這個(gè)命題叫原命題的否命題．
　　【提問】你能由原命題“正方形的四條邊相等”構(gòu)成它的否命題嗎？

學(xué)生活動(dòng)：

　　口答：若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等．

教師活動(dòng)：

　　【講述】一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題．把其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題叫做原命題的否命題．
　　若用 和 分別表示原命題的條件和結(jié)論，用┐ 和┐ 分別表示 和 的否定．
　　【板書】原命題：若 則 ；
　　否命題：若┐ 則┐ ．
　　【提問】原命題真，否命題一定真嗎？舉例說明？
學(xué)生活動(dòng)：

講論后回答：

　　原命題“同位角相等，兩直線平行”真，它的否命題“同位角不相等，兩直線不平行”不真．
　　原命題“正方形的四條邊相等”真，它的否命題“若一個(gè)四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等”不真．
　　由此可以得原命題真，它的否命題不一定真．

設(shè)計(jì)意圖：
　　通過設(shè)問和討論，讓學(xué)生在自己舉例中研究如何由原命題構(gòu)成否命題及判斷它們的真假，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性．

教師活動(dòng)：

　　【提問】命題“同位角相等，兩條直線平行”除了 能構(gòu)成它的逆命題和否命題外，還可以不可以構(gòu)成別的命題？
學(xué)生活動(dòng)：

　　討論后回答
　　 【總結(jié)】可以將這個(gè)命題的條件和結(jié)論互換后再分別將新的條件和結(jié)論分別否定構(gòu)成命題“兩條直線不平行，則同位角不相等”，這個(gè)命題叫原命題的逆否命題．
教師活動(dòng)：
　　【提問】原命題“正方形的四條邊相等”的逆否命題是什么？
學(xué)生活動(dòng)：
　　口答：若一個(gè)四邊形的四條邊不相等，則不是正方形．
教師活動(dòng)：
　　【講述】一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題．把其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題就叫做原命題的逆否命題．
　　原命題是“若 則 ”，則逆否命題為“若 則 ．
　　【提問】“兩條直線不平行，則同位角不相等”是否真？“若一個(gè)四邊形的四條邊不相等，則不是正方形”是否真？若原命題真，逆否命題是否也真？
學(xué)生活動(dòng)：
　　討論后回答
　　這兩個(gè)逆否命題都真．
　　原命題真，逆否命題也真．
教師活動(dòng)：
　　【提問】原命題的真假與其他三種命題的真
　　假有什么關(guān)系？舉例加以說明？
　　【總結(jié)】1．原命題為真，它的逆命題不一定為真．
　　　　　　2．原命題為真，它的否命題不一定為真．
　　　　　　3．原命題為真，它的逆否命題一定為真．
設(shè)計(jì)意圖：
　　通過設(shè)問和討論，讓學(xué)生在自己舉例中研究如何由原命題構(gòu)成逆否命題及判斷它們的真假，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)的積極性．
教師活動(dòng)：
三、課堂練習(xí)
　　1．設(shè)原命題是“若 ，則 ”，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假．
學(xué)生活動(dòng)：
　　筆答：
　　逆命題“若 ，則 ”．逆命題是假命題．
　　否命題“若 ，則 ”．否命題是假命題．
　　逆否命題“若 ，則 ”．逆否命題是真命題．
教師活動(dòng)：
　　2．設(shè)原命題是“當(dāng) 時(shí)，若 ，則 ”，寫出它的逆命題、否定命與逆否命題，并分別判斷它們的真假．
學(xué)生活動(dòng)：
　　筆答
　　逆命題“當(dāng) 時(shí)，若 ，則 ”．
　　否命題“當(dāng) 時(shí)，若 ，則 ”．否命題為真．
　　逆否命題“當(dāng) 時(shí)，若 ，則 ”．逆否命題為真．
設(shè)計(jì)意圖：
　　通過練習(xí)鞏固由原命題構(gòu)成否命題、逆否命題及判斷它的真假的能力．
教師活動(dòng)：
　　【總結(jié)】“當(dāng) 時(shí)”是大前提，寫其他命題時(shí)應(yīng)該將“當(dāng) 時(shí)”寫在前面．原命題的條件是 ，結(jié)論是

　　“ ”的否定是“ ”，而不是“ ”，同樣“ ”的否定是“ ”，而不是“ ”．
　　【投影】
　　3．填圖

　　1．若原命題是“若 則 ”，其它三種命題的形式怎樣表示？請寫在方框內(nèi)？

學(xué)生活動(dòng)：筆答
教師活動(dòng)：
　　2．根據(jù)上圖所給出的箭頭，寫出箭頭兩頭命題之間的關(guān)系？舉例加以說明？
學(xué)生活動(dòng)：討論后回答
設(shè)計(jì)意圖：
　　通過學(xué)生自己填圖，使學(xué)生掌握四種命題的形式和它們之間的關(guān)系．
教師活動(dòng)：
　　四、小結(jié)
　　四種命題的形式和關(guān)系如下圖：

　　由原命題構(gòu)成道命題只要將 和 換位就可以．由原命題構(gòu)成否命題只要 和 分別否定為 和 ，但 和 不必?fù)Q位．由原命題構(gòu)成逆否命題時(shí)不但要將 和 換位，而且要將換位后的 和 否定·
　　原命題為真，它的逆命題不一定為真．
　　原命題為真，它的否命題不一定為真．
　　原命題為真，它的逆否命題一定為真．
　　因?yàn)榛�為逆否命題同真同假，所以討論四種命題的真假性只討論原命題和逆否命題中的一個(gè)，逆命題和否命題中的一個(gè)，只討論兩種就可以了，不必對(duì)四種命題形式—一加以討論．
教師活動(dòng)：
　　五、作業(yè)
　　1．閱讀課本 四種命題．
　　2． 四種命題，練習(xí)（31頁）1、2，練習(xí)（32頁）1、2
　　3．習(xí)題 1、2、3、4

第二課時(shí)：反證法
一、導(dǎo)入新課
　　【提問】初中我們學(xué)過反證法，你能回答出用反證法證明命題的一般步驟嗎？
學(xué)生活動(dòng)：
　　口答：
　�。╨）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；
　　（2）從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；
　�。�3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確．
設(shè)計(jì)意圖：
　　復(fù)習(xí)舊知識(shí)，為學(xué)習(xí)反證法鋪平道路．
教師活動(dòng)：
　　【導(dǎo)入】同學(xué)們對(duì)反證法這種間接證法不像學(xué)過的直接證法如綜合法、分析法那樣熟悉，感到抽象、難懂，讓我們舉出一例對(duì)反證法加以介紹．
　　我們年級(jí)有367名學(xué)生，請你證明這些學(xué)生中至少有兩個(gè)學(xué)生在同一天過生日．
　　這個(gè)問題若用直接證法來解決是有困難的，我們可以運(yùn)用反證法．
　　運(yùn)用反證法證明這個(gè)問題首先是根據(jù)“至少有兩個(gè)學(xué)生在同一天過生日”的反面是“任何兩個(gè)學(xué)生都不在同一天過生日”，也就是反設(shè)“假設(shè)任何兩個(gè)學(xué)生都不在同一天過生日”，從這個(gè)反設(shè)出發(fā)就會(huì)推出這367人就會(huì)有不同的367天過生日，這就出現(xiàn)了與一年只有365天（閏年366天）的矛盾．產(chǎn)生這個(gè)矛盾的來源是由于開始的反設(shè)，因此反設(shè)不成立，這樣得出了“至少有兩個(gè)學(xué)生在同一天過生日”的結(jié)論．
設(shè)計(jì)意圖：
　　以生活中的實(shí)際例子拉近學(xué)生與反證法的距離，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．
【板書】反證法證題的步驟：
　　1．反設(shè)； 2．歸謬； 3．結(jié)論
　　【例】用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分．
　　已知：如圖，在⊙O中，弦 AB、CD相交于 P點(diǎn)，且 AB、CD不是直徑．
　　求證：弦AB、CD不被P點(diǎn)平分．

　　【設(shè)問】用反證法證明這道題如何進(jìn)行反設(shè)？怎樣進(jìn)行歸謬？
　　【引導(dǎo)討論】“弦AB、CD不被P點(diǎn)平分”的反面是“弦AB、CD被P點(diǎn)平分”，因而反設(shè)是“假設(shè)弦AB、CD被P點(diǎn)平分”．
學(xué)生活動(dòng)：
　　思考后分組討論，互相補(bǔ)充．
設(shè)計(jì)意圖：
　　在關(guān)鍵處設(shè)問，激勵(lì)學(xué)生探究精神，提高運(yùn)用反證法的能力．
教師活動(dòng)：
　　由于P點(diǎn)不是圓心O，連結(jié)OP，由垂徑定理的推論得 ， ，這樣過P點(diǎn)有兩條直線與OP都垂直，與垂線的性質(zhì)矛盾．
　　結(jié)論是“弦AB、CD不被P點(diǎn)平分”成立．
　　這道題用反證法證明還有一個(gè)方法．

　　連結(jié) AD、BD、BC、AC·
　　【提問】用反證法證明怎樣反設(shè)？怎樣歸謬？
　　反設(shè)仍是“弦AB、CD能被P點(diǎn)平分”．
學(xué)生活動(dòng)：
　　討論后回答
　　因?yàn)?sub> ，所以四邊形ABCD是平行四邊形，而圓內(nèi)接平行四邊形必是矩形，則其對(duì)角線AB、CD必是圓O的直徑，這與假設(shè)矛盾，所以結(jié)論“弦AB、CD不被P點(diǎn)平分”成立·
設(shè)計(jì)意圖：
　　讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)在反證法中如何進(jìn)行反充、歸謬．
教師活動(dòng)：
　　【練習(xí)】用反證法證明 不是有理數(shù)
　　證明：假設(shè) 是有理數(shù)，則 可表示為 （ ， 為自然數(shù)，且互質(zhì)）
兩邊平方，得

  ①

　　由①知 必是2的倍數(shù)，進(jìn)而 必是2的倍數(shù)．

　　令 代入①式，得

   ②

　　由②知， 必是2的倍數(shù)， 和 都是2的倍數(shù)，則 、 不互質(zhì)，與假定 、 互質(zhì)相矛盾， 不是有理數(shù)．

設(shè)計(jì)意圖：
　　鞏固練習(xí)．
教師活動(dòng)：
　　【例】用反證法證明：如果 ，那么 ．
　　【剖析】運(yùn)用反證法證明這道題時(shí)，怎樣進(jìn)行反設(shè)？ 的反面是否僅有 ？
　　證明：假設(shè) 不小于 ，則或者 ，或者

　　當(dāng) ，因?yàn)?sub> ，所以

　　在 的兩邊都乘以 得

，

　　在 的兩邊都乘以 得

，

　　所以                                  

　　這與假設(shè) 矛盾，所以 不成立．

　　當(dāng) 時(shí)可得到 ，這與假設(shè) 矛盾．

　　綜上所述，所以

設(shè)計(jì)意圖：
　　通過對(duì)例題的剖析，使學(xué)生掌握如何在反證法中反設(shè)和歸謬．
教師活動(dòng)：
　　三、課堂練習(xí)
　　用反證法證明：
　　已知：銳角三角形ABC中
　　求證：
　　證明：假設(shè) ，則
　　因?yàn)?sub> ，所以 ， ．這樣可推出 是鈍角三角形或直角三角形，這與假設(shè) 是銳角三角形矛盾．所以
設(shè)計(jì)意圖：
　　進(jìn)一步提高運(yùn)用反證法證題的能力．

四、小結(jié)
　　反證法證題的步驟：
　�。�1）反設(shè)；（2）歸謬；（3）結(jié)論．
　　運(yùn)用反證法在歸謬中所導(dǎo)出的矛盾可以是與已知條件的矛盾，也可以是與某個(gè)公理、定理的矛盾，也可以是證明過程中自相矛盾．
五、作業(yè)
　　1．閱讀課本 四種命題中“反證法”部分
　　2． 四種命題中“反證法”練習(xí)1、2．
　　3．習(xí)題 5、6
　　4．用反證法證明：在 中，AB、BC、AC不全相等，那么 、 、 中至少有一個(gè)大于
　　證明：假設(shè) 、 、 都大于 ，即 ， ，

　　因?yàn)锳B、BC、AC不全相等，所以上面三式中不能同時(shí)取等號(hào)，這樣有 ．與定理“三角形內(nèi)角和為 ”矛盾，因此結(jié)論 、 、 中至少有一個(gè)大于 成立．

 

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