上學期 1.7 四種命題

教學目標

　　（1）理解四種命題的概念；
　�。�2）理解四種命題之間的相互關(guān)系，能由原命題寫出其他三種形式；
　�。�3）理解一個命題的真假與其他三個命題真假間的關(guān)系；
　�。�4）初步掌握反證法的概念及反證法證題的基本步驟；
　�。�5）通過對四種命題之間關(guān)系的學習，培養(yǎng)學生邏輯推理能力；
　�。�6）通過對四種命題的存在性和相對性的認識，進行辯證唯物主義觀點教育；
　�。�7）培養(yǎng)學生用反證法簡單推理的技能，從而發(fā)展學生的思維能力．

教學重點和難點

重點：四種命題之間的關(guān)系；難點：反證法的運用．

教學過程設(shè)計

第一課時：四種命題

一、導入新課

　　【練習】 1．把下列命題改寫成“若 則 ”的形式：
　　（l）同位角相等，兩直線平行；
　�。�2）正方形的四條邊相等．

　　2．什么叫互逆命題？上述命題的逆命題是什么？
　　將命題寫成“若 則 ”的形式，關(guān)鍵是找到命題的條件 與結(jié)論 ．
　　如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，且第一個命題的結(jié)論是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互道命題．
　　上述命題的道命題是“若一個四邊形的四條邊相等，則它是正方形”和“若兩條直線平行，則同位角相等”．
　　值得指出的是原命題和逆命題是相對的．我們也可以把逆命題當成原命題，去求它的逆命題．
　   3．原命題真，逆命題一定真嗎？
　　 “同位角相等，兩直線平行”這個原命題真，逆命題也真．但“正方形的四條邊相等”的原命題真，逆命題就不真，所以原命題真，逆命題不一定真．

學生活動：

　　口答：（l）若同位角相等，則兩直線平行；（2）若一個四邊形是正方形，則它的四條邊相等．

設(shè)計意圖：

　　通過復習舊知識，打下學習否命題、逆否命題的基礎(chǔ)．

二、新課

　　【設(shè)問】命題“同位角相等，兩條直線平行”除了能構(gòu)成它的逆命題外，是否還可以構(gòu)成其它形式的命題？
　　【講述】可以將原命題的條件和結(jié)論分別否定，構(gòu)成“同位角不相等，則兩直線不平行”，這個命題叫原命題的否命題．
　　【提問】你能由原命題“正方形的四條邊相等”構(gòu)成它的否命題嗎？

學生活動：

　　口答：若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等．

教師活動：

　　【講述】一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個命題叫做互否命題．把其中一個命題叫做原命題，另一個命題叫做原命題的否命題．
　　若用 和 分別表示原命題的條件和結(jié)論，用┐ 和┐ 分別表示 和 的否定．
　　【板書】原命題：若 則 ；
　　否命題：若┐ 則┐ ．
　　【提問】原命題真，否命題一定真嗎？舉例說明？
學生活動：

講論后回答：

　　原命題“同位角相等，兩直線平行”真，它的否命題“同位角不相等，兩直線不平行”不真．
　　原命題“正方形的四條邊相等”真，它的否命題“若一個四邊形不是正方形，則它的四條邊不相等”不真．
　　由此可以得原命題真，它的否命題不一定真．

設(shè)計意圖：
　　通過設(shè)問和討論，讓學生在自己舉例中研究如何由原命題構(gòu)成否命題及判斷它們的真假，調(diào)動學生學習的積極性．

教師活動：

　　【提問】命題“同位角相等，兩條直線平行”除了 能構(gòu)成它的逆命題和否命題外，還可以不可以構(gòu)成別的命題？
學生活動：

　　討論后回答
　　 【總結(jié)】可以將這個命題的條件和結(jié)論互換后再分別將新的條件和結(jié)論分別否定構(gòu)成命題“兩條直線不平行，則同位角不相等”，這個命題叫原命題的逆否命題．
教師活動：
　　【提問】原命題“正方形的四條邊相等”的逆否命題是什么？
學生活動：
　　口答：若一個四邊形的四條邊不相等，則不是正方形．
教師活動：
　　【講述】一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．把其中一個命題叫做原命題，另一個命題就叫做原命題的逆否命題．
　　原命題是“若 則 ”，則逆否命題為“若 則 ．
　　【提問】“兩條直線不平行，則同位角不相等”是否真？“若一個四邊形的四條邊不相等，則不是正方形”是否真？若原命題真，逆否命題是否也真？
學生活動：
　　討論后回答
　　這兩個逆否命題都真．
　　原命題真，逆否命題也真．
教師活動：
　　【提問】原命題的真假與其他三種命題的真
　　假有什么關(guān)系？舉例加以說明？
　　【總結(jié)】1．原命題為真，它的逆命題不一定為真．
　　　　　　2．原命題為真，它的否命題不一定為真．
　　　　　　3．原命題為真，它的逆否命題一定為真．
設(shè)計意圖：
　　通過設(shè)問和討論，讓學生在自己舉例中研究如何由原命題構(gòu)成逆否命題及判斷它們的真假，調(diào)動學生學的積極性．
教師活動：
三、課堂練習
　　1．設(shè)原命題是“若 ，則 ”，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假．
學生活動：
　　筆答：
　　逆命題“若 ，則 ”．逆命題是假命題．
　　否命題“若 ，則 ”．否命題是假命題．
　　逆否命題“若 ，則 ”．逆否命題是真命題．
教師活動：
　　2．設(shè)原命題是“當 時，若 ，則 ”，寫出它的逆命題、否定命與逆否命題，并分別判斷它們的真假．
學生活動：
　　筆答
　　逆命題“當 時，若 ，則 ”．
　　否命題“當 時，若 ，則 ”．否命題為真．
　　逆否命題“當 時，若 ，則 ”．逆否命題為真．
設(shè)計意圖：
　　通過練習鞏固由原命題構(gòu)成否命題、逆否命題及判斷它的真假的能力．
教師活動：
　　【總結(jié)】“當 時”是大前提，寫其他命題時應(yīng)該將“當 時”寫在前面．原命題的條件是 ，結(jié)論是

　　“ ”的否定是“ ”，而不是“ ”，同樣“ ”的否定是“ ”，而不是“ ”．
　　【投影】
　　3．填圖

　　1．若原命題是“若 則 ”，其它三種命題的形式怎樣表示？請寫在方框內(nèi)？

學生活動：筆答
教師活動：
　　2．根據(jù)上圖所給出的箭頭，寫出箭頭兩頭命題之間的關(guān)系？舉例加以說明？
學生活動：討論后回答
設(shè)計意圖：
　　通過學生自己填圖，使學生掌握四種命題的形式和它們之間的關(guān)系．
教師活動：
　　四、小結(jié)
　　四種命題的形式和關(guān)系如下圖：

　　由原命題構(gòu)成道命題只要將 和 換位就可以．由原命題構(gòu)成否命題只要 和 分別否定為 和 ，但 和 不必換位．由原命題構(gòu)成逆否命題時不但要將 和 換位，而且要將換位后的 和 否定·
　　原命題為真，它的逆命題不一定為真．
　　原命題為真，它的否命題不一定為真．
　　原命題為真，它的逆否命題一定為真．
　　因為互為逆否命題同真同假，所以討論四種命題的真假性只討論原命題和逆否命題中的一個，逆命題和否命題中的一個，只討論兩種就可以了，不必對四種命題形式—一加以討論．
教師活動：
　　五、作業(yè)
　　1．閱讀課本 四種命題．
　　2． 四種命題，練習（31頁）1、2，練習（32頁）1、2
　　3．習題 1、2、3、4
第二課時：反證法
一、導入新課
　　【提問】初中我們學過反證法，你能回答出用反證法證明命題的一般步驟嗎？
學生活動：
　　口答：
　�。╨）假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；
　�。�2）從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；
　�。�3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確．
設(shè)計意圖：
　　復習舊知識，為學習反證法鋪平道路．
教師活動：
　　【導入】同學們對反證法這種間接證法不像學過的直接證法如綜合法、分析法那樣熟悉，感到抽象、難懂，讓我們舉出一例對反證法加以介紹．
　　我們年級有367名學生，請你證明這些學生中至少有兩個學生在同一天過生日．
　　這個問題若用直接證法來解決是有困難的，我們可以運用反證法．
　　運用反證法證明這個問題首先是根據(jù)“至少有兩個學生在同一天過生日”的反面是“任何兩個學生都不在同一天過生日”，也就是反設(shè)“假設(shè)任何兩個學生都不在同一天過生日”，從這個反設(shè)出發(fā)就會推出這367人就會有不同的367天過生日，這就出現(xiàn)了與一年只有365天（閏年366天）的矛盾．產(chǎn)生這個矛盾的來源是由于開始的反設(shè)，因此反設(shè)不成立，這樣得出了“至少有兩個學生在同一天過生日”的結(jié)論．
設(shè)計意圖：
　　以生活中的實際例子拉近學生與反證法的距離，激發(fā)學生的學習興趣．
【板書】反證法證題的步驟：
　　1．反設(shè)； 2．歸謬； 3．結(jié)論
　　【例】用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分．
　　已知：如圖，在⊙O中，弦 AB、CD相交于 P點，且 AB、CD不是直徑．
　　求證：弦AB、CD不被P點平分．

　　【設(shè)問】用反證法證明這道題如何進行反設(shè)？怎樣進行歸謬？
　　【引導討論】“弦AB、CD不被P點平分”的反面是“弦AB、CD被P點平分”，因而反設(shè)是“假設(shè)弦AB、CD被P點平分”．
學生活動：
　　思考后分組討論，互相補充．
設(shè)計意圖：
　　在關(guān)鍵處設(shè)問，激勵學生探究精神，提高運用反證法的能力．
教師活動：
　　由于P點不是圓心O，連結(jié)OP，由垂徑定理的推論得 ， ，這樣過P點有兩條直線與OP都垂直，與垂線的性質(zhì)矛盾．
　　結(jié)論是“弦AB、CD不被P點平分”成立．
　　這道題用反證法證明還有一個方法．

　　連結(jié) AD、BD、BC、AC·
　　【提問】用反證法證明怎樣反設(shè)？怎樣歸謬？
　　反設(shè)仍是“弦AB、CD能被P點平分”．
學生活動：
　　討論后回答
　　因為 ，所以四邊形ABCD是平行四邊形，而圓內(nèi)接平行四邊形必是矩形，則其對角線AB、CD必是圓O的直徑，這與假設(shè)矛盾，所以結(jié)論“弦AB、CD不被P點平分”成立·
設(shè)計意圖：
　　讓學生進一步體會在反證法中如何進行反充、歸謬．
教師活動：
　　【練習】用反證法證明 不是有理數(shù)
　　證明：假設(shè) 是有理數(shù)，則 可表示為 （ ， 為自然數(shù)，且互質(zhì)）
兩邊平方，得

  ①

　　由①知 必是2的倍數(shù)，進而 必是2的倍數(shù)．

　　令 代入①式，得

   ②

　　由②知， 必是2的倍數(shù)， 和 都是2的倍數(shù)，則 、 不互質(zhì)，與假定 、 互質(zhì)相矛盾， 不是有理數(shù)．

設(shè)計意圖：
　　鞏固練習．
教師活動：
　　【例】用反證法證明：如果 ，那么 ．
　　【剖析】運用反證法證明這道題時，怎樣進行反設(shè)？ 的反面是否僅有 ？
　　證明：假設(shè) 不小于 ，則或者 ，或者

　　當 ，因為 ，所以

　　在 的兩邊都乘以 得

，

　　在 的兩邊都乘以 得

，

　　所以                                  

　　這與假設(shè) 矛盾，所以 不成立．

　　當 時可得到 ，這與假設(shè) 矛盾．

　　綜上所述，所以

設(shè)計意圖：
　　通過對例題的剖析，使學生掌握如何在反證法中反設(shè)和歸謬．
教師活動：
　　三、課堂練習
　　用反證法證明：
　　已知：銳角三角形ABC中
　　求證：
　　證明：假設(shè) ，則
　　因為 ，所以 ， ．這樣可推出 是鈍角三角形或直角三角形，這與假設(shè) 是銳角三角形矛盾．所以
設(shè)計意圖：
　　進一步提高運用反證法證題的能力．

四、小結(jié)
　　反證法證題的步驟：
　�。�1）反設(shè)；（2）歸謬；（3）結(jié)論．
　　運用反證法在歸謬中所導出的矛盾可以是與已知條件的矛盾，也可以是與某個公理、定理的矛盾，也可以是證明過程中自相矛盾．
五、作業(yè)
　　1．閱讀課本 四種命題中“反證法”部分
　　2． 四種命題中“反證法”練習1、2．
　　3．習題 5、6
　　4．用反證法證明：在 中，AB、BC、AC不全相等，那么 、 、 中至少有一個大于
　　證明：假設(shè) 、 、 都大于 ，即 ， ，

　　因為AB、BC、AC不全相等，所以上面三式中不能同時取等號，這樣有 ．與定理“三角形內(nèi)角和為 ”矛盾，因此結(jié)論 、 、 中至少有一個大于 成立．

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