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研究性課題與實(shí)習(xí)作業(yè)：線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用
教學(xué)目標(biāo)
�。�1）了解線性規(guī)化的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念；
�。�2）了解線性規(guī)化問題的圖解法；
�。�3）培養(yǎng)學(xué)生搜集、分析和整理信息的能力，在活動(dòng)中學(xué)會(huì)溝通與合作，培養(yǎng)探索研究的能力和所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力；
（4）引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德．
教學(xué)建議
一、重點(diǎn)難點(diǎn)分析
學(xué)以致用，培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)是本節(jié)的重要目的。學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的有關(guān)知識(shí)其最終目的就是運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q一些生產(chǎn)、生活中問題，因而本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是：線性規(guī)劃在實(shí)際生活中的應(yīng)用。困難大多是如何把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（既數(shù)學(xué)建模），所以把一些生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，就是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。突破這個(gè)難點(diǎn)的關(guān)鍵就在于盡快熟悉生活，了解實(shí)際情況，并與所學(xué)知識(shí)緊密結(jié)合起來。
二、教法建議
�。╨）建議可適當(dāng)采用電腦多媒體和投影儀等先進(jìn)手段來輔助教學(xué)，以增加課堂容量，增強(qiáng)直觀性，進(jìn)而提高課堂效率．
（2）課堂上可以設(shè)計(jì)幾個(gè)實(shí)際讓學(xué)生分組研討解答，一方面是復(fù)習(xí)線性規(guī)劃問題的一般解法，為總結(jié)線性規(guī)劃問題的數(shù)學(xué)模型和常見類型作鋪墊；另一方面，也為接下來到外面分組調(diào)研積累經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在討論、探究過程中初步學(xué)會(huì)溝通與合作，共同完成活動(dòng)任務(wù)．
（3）確定研究課題，建議各小組以三個(gè)常見問題為主，或者根據(jù)本小組實(shí)際自擬課題．
（4）活動(dòng)安排，建議要求各小組分式明確，團(tuán)結(jié)協(xié)作，聽從指揮，注意安全．學(xué)生研究活動(dòng)的成果，可以用研究報(bào)告或論文的形式體現(xiàn)．一切以學(xué)生自己的自主探究活動(dòng)為主，教師不能越俎代庖．
�。�5）對學(xué)生在課余時(shí)間開展的研究性課題，建議作做好成果展示、評估和交流．展示不僅可以讓全體學(xué)生來分享成果，享受成功的喜悅，而且還可以鍛煉學(xué)生的組織表達(dá)能力，增強(qiáng)學(xué)生的自信心．通過評估，可以使同學(xué)清楚地看到自己的優(yōu)點(diǎn)與不足．通過交流研討，分享成果，進(jìn)行思維碰撞，使認(rèn)識(shí)和情感得到提升．
教學(xué)設(shè)計(jì)方案
教學(xué)目標(biāo)
�。�1）了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、線性規(guī)化問題、可行解、可行域以及最優(yōu)解等基本概念；
（2）了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決一些簡單的實(shí)際問題；
（3）培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生“建�！焙徒鉀Q實(shí)際問題的能力；
�。�4）結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和“用數(shù)學(xué)”的意識(shí)，激勵(lì)學(xué)生勇于創(chuàng)新．
重點(diǎn)難點(diǎn)
理解二元一次不等式表示平面區(qū)域是教學(xué)重點(diǎn)。
如何擾實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答是教學(xué)難點(diǎn)。
教學(xué)步驟
（一）引入新課
我們已研究過以二元一次不等式組為約束條件的二元線性目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題。那么是否有多個(gè)兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題呢？又什么樣的問題不用線性規(guī)劃知識(shí)來解決呢？
（二）線性規(guī)劃問題的教學(xué)模型
線性規(guī)劃研究的是線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下取最大值或最小值問題，一般地，線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型是
已知 其中 都是常數(shù)， 是非負(fù)變量，求 的最大值或最小值，這里 是常量。
前面我們計(jì)論了兩個(gè)變量的線性規(guī)劃問題，這類問題可以用圖解法來求最優(yōu)解，涉及更多變量的線性規(guī)劃問題不能用圖解法求解。比如線性不等式 不能用圖形來表示它，那么對四元線性規(guī)劃問題就不能用圖形來求解了，對這樣的線性規(guī)劃問題怎樣求解，同學(xué)們今后在大學(xué)學(xué)習(xí)中會(huì)得到解決。
線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用
線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用，一是在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項(xiàng)任務(wù)，常見問題有：
1．物調(diào)運(yùn)問題
例如，已知 兩煤礦每年的產(chǎn)量，煤需經(jīng) 兩個(gè)車站運(yùn)往外地， 兩個(gè)車站的運(yùn)輸能力是有限的，且已知 兩煤礦運(yùn)往 兩個(gè)車站的運(yùn)輸價(jià)格，煤礦應(yīng)怎樣編制調(diào)運(yùn)方案，能使總運(yùn)費(fèi)最小？
2．產(chǎn)品安排問題
例如，某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一個(gè)單位的甲種或乙種產(chǎn)品需要的A、B、C三種材料的數(shù)量，此廠每月所能提供的三種材料的限額都是已知的，這個(gè)工廠在每個(gè)月中應(yīng)如何安排這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，能使每月獲得的總利潤最大？
3．下料問題
例如，要把一批長鋼管截成兩種規(guī)格的鋼管，應(yīng)怎樣下料能使損耗最��？
4．研究一個(gè)例子
下面的問題，能否用線性規(guī)劃求解？如能，請同學(xué)們解出來。
某家具廠有方木料 ，五合板 ，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售，已知生產(chǎn)每張書桌需要方木料 、五合板 ，生產(chǎn)每個(gè)書櫥需要方木料 、五合板 ，出售一張書桌可獲利潤80元，出售一個(gè)書櫥可獲利潤120元，如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？如何只安排生產(chǎn)書櫥，可獲利潤多少？怎樣安排生產(chǎn)時(shí)可使所得利潤最大？
A．教師指導(dǎo)同學(xué)們逐步解答：
（1）先將已知數(shù)據(jù)列成下表
�。�2）設(shè)生產(chǎn)書桌x張，生產(chǎn)書櫥y張，獲利潤為z元。
分析：顯然這是一個(gè)二元線性問題，可歸結(jié)于線性規(guī)劃問題，并可用圖解法求解。
�。�3）目標(biāo)函數(shù)
�、僭诘谝粋�(gè)問題中，即只生產(chǎn)書桌，則 ，約束條件為
∴ 最多生產(chǎn)300張書桌，獲利潤 元
這樣安排生產(chǎn)，五合板先用光，方木料只用了 ，還有 沒派上用場。
�、谠诘诙䝼�(gè)問題中，即只生產(chǎn)書櫥，則 ，約束條件是
∴ 最多生產(chǎn)600張書櫥，獲利潤 元
這樣安排生產(chǎn)，五合板也全用光，方木料用去了 ，仍有 沒派上用場，獲利潤比只生產(chǎn)書桌多了48000元。
�、墼诘谌齻�(gè)問題中，即怎樣安排生產(chǎn)，可獲利潤最大？
，約束條件為
對此，我們用圖解法求解，
先作出可行域，如圖陰影部分。
時(shí)得直線 與 平行的直線 過可行域內(nèi)的點(diǎn)M（0，600）。因?yàn)榕c 平等的過可行域內(nèi)的點(diǎn)的所有直線中， 距原點(diǎn)最遠(yuǎn)，所以最優(yōu)解為 ，即此時(shí)
因此，只生產(chǎn)書櫥600張可獲得最大利潤，最大利潤是72000元。
B．討論
為什么會(huì)出現(xiàn)只生產(chǎn)書櫥，可獲最大利潤的情形呢？第一，書櫥比書桌價(jià)格高，因此應(yīng)該盡可能多生產(chǎn)書櫥；第二，生產(chǎn)一張書櫥只需要五合板 ，生產(chǎn)一張書桌卻需要五合板 ，按家具廠五合板的存有量 ，可生產(chǎn)書櫥600張，若同時(shí)又生產(chǎn)書桌，則生產(chǎn)一張書桌就要減少兩張書櫥，顯然這不合算；第三，生產(chǎn)書櫥的另種材料，即方木料是足夠供應(yīng)的，家具廠方木料存有量為 ，而生產(chǎn)600張書櫥只需要方木料 。
這是一個(gè)特殊的線性規(guī)劃問題，再來研究它的解法。
C．改變這個(gè)例子的個(gè)別條件，再來研究它的解法。
將這個(gè)例子中方木料存有量改為 ，其他條件不變，則
作出可行域，如圖陰影部分，且過可行域內(nèi)點(diǎn)M（100，400）而平行于 的直線 離原點(diǎn)的距離最大，所以最優(yōu)解為（100，400），這時(shí) （元）。
故生產(chǎn)書桌100、書櫥400張，可獲最大利潤56000元。
總結(jié)、擴(kuò)展
1．線性規(guī)劃問題的數(shù)字模型。
2．線性規(guī)劃在兩類問題中的應(yīng)用
布置作業(yè)
到附近的工廠、鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)、商店、學(xué)校等作調(diào)查研究，了解線性規(guī)劃在實(shí)際中的應(yīng)用，或提出能用線性規(guī)劃的知識(shí)提高生產(chǎn)效率的實(shí)際問題，并作出解答。把實(shí)習(xí)和研究活動(dòng)的成果寫成實(shí)習(xí)報(bào)告、研究報(bào)告或小論文，并互相交流。
探究活動(dòng)
如何確定水電站的位置
小河同側(cè)有兩個(gè)村莊A，B，兩村莊計(jì)劃于河上共建一水電站發(fā)電供兩村使用．已知 A，B兩村到河邊的垂直距離分別為300m和700m，且兩村相距500m，問水電站建于何處，送電到兩村電線用料最�。�
[解]視兩村莊為兩點(diǎn)A，B，小河為一條直線L，原問題便轉(zhuǎn)化成在直線上找一點(diǎn)P，使P點(diǎn)到A，B兩點(diǎn)距離之和為最小的問題．
以L所在直線為 軸， 軸通過A點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖所示．作A關(guān)于 軸的對稱點(diǎn) ，連 ， 與 軸交于點(diǎn)P．由平面幾何知識(shí)得，點(diǎn)P即為所求．據(jù)已知條件，A（0，300）， （0，－300）．過B作 軸于點(diǎn) ，過A作 ，于點(diǎn)H．
由 ， ，得B（300，700）．于是直線 的方程為
即
所以P點(diǎn)的坐標(biāo)即為 與 軸的交點(diǎn)（90，0），即水電站應(yīng)建在河邊兩村間且離A村距河邊的最近點(diǎn)90 m的地方
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