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不等式的證明（二）
第二課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1．進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式；
2．了解作商比較法證明不等式；
3．提高學(xué)生解題時(shí)應(yīng)變能力.
教學(xué)重點(diǎn) 比較法的應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn) 常見解題技巧
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
�。ㄒ唬⿲�(dǎo)入新課
�。ń處熁顒�(dòng)）教師打出字幕（復(fù)習(xí)提問），請三位同學(xué)回答問題，教師點(diǎn)評．
（學(xué)生活動(dòng)）思考問題，回答．
［字幕］1．比較法證明不等式的步驟是怎樣的？
2．比較法證明不等式的步驟中，依據(jù)、手段、目的各是什么？
3．用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學(xué)了哪些常用的變形方法？對式子的變形還有其它方法嗎？
[點(diǎn)評]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對差式的變形．在我們所學(xué)的知識(shí)中，對式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解．這節(jié)課我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)比較法證明不等式，積累對差式變形的常用方法和比較法思想的應(yīng)用．（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)知識(shí)，銜接新知識(shí)，引入本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容．
�。ǘ┬抡n講授
【嘗試探索，建立新知】
�。ń處熁顒�(dòng)）提出問題，引導(dǎo)學(xué)生研究解決問題，并點(diǎn)評．
�。▽W(xué)生活動(dòng)）嘗試解決問題．
[問題]
1．化簡
2．比較 與 （ ）的大�。�
�。▽W(xué)生解答問題）
�。埸c(diǎn)評］
�、賳栴}1，我們采用了因式分解的方法進(jìn)行簡化．
�、谕ㄟ^學(xué)習(xí)比較法證明不等式，我們不難發(fā)現(xiàn)，比較法的思想方法還可用來比較兩個(gè)式子的大�。�
設(shè)計(jì)意圖：啟發(fā)學(xué)生研究問題，建立新知，形成新的知識(shí)體系．
【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】
�。ń處熁顒�(dòng)）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生研究問題，井點(diǎn)評解題過程．
�。▽W(xué)生活動(dòng)）分析，研究問題．
［字幕］例題3 已知a，b是正數(shù)，且 ，求證
�。鄯治觯菀李}目特點(diǎn)，作差后重新組項(xiàng)，采用因式分解來變形．
證明：（見課本）
�。埸c(diǎn)評］因式分解也是對差式變形的一種常用方法．此例將差式變形為幾個(gè)因式的積的形式，在確定符號(hào)中，表達(dá)過程較復(fù)雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個(gè)好的示范．
[字幕]例4試問： 與 （ ）的大小關(guān)系．并說明理由．
�。鄯治觯葑鞑钔ǚ�，對分子、分母因式分解，然后分類討論確定符號(hào)．
解：
因?yàn)?sub> ，所以 ，
若 ，則 所以 ．
即
若 ，則 所以 ．
即
若 ，則 所以 ．
即
綜上所述： 時(shí)，
時(shí)，
時(shí)，
�。埸c(diǎn)評］解這道題在判斷符號(hào)時(shí)用了分類討論，分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法．要理解為什么分類，怎樣分類．分類時(shí)要不重不漏．
［字幕］例5甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一條路線走到同一地點(diǎn)．甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果 ，問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)．
[分析]設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為 ，甲、乙兩人走完這段路程用的時(shí)間分別為 ， ，要回答題目中的問題，只要比較 、 的大小就可以了．
解：（見課本）
�。埸c(diǎn)評］此題是一個(gè)實(shí)際問題，學(xué)習(xí)了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實(shí)際問題．要培養(yǎng)自己學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的良好品質(zhì)．
設(shè)計(jì)意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號(hào)的方法．培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．
【課堂練習(xí)】
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考，完成練習(xí)；請甲、乙兩位學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對正確的給予肯定，對偏差及時(shí)糾正；點(diǎn)評練習(xí)中存在的問題．
�。▽W(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演．
�。圩帜唬菥毩�(xí)：1．設(shè) ，比較 與 的大�。�
2．已知 ， ，求證
設(shè)計(jì)意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應(yīng)用．靈活掌握因式分解法對差式的變形和分類討論確定符號(hào)．反饋信息，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．
【分析歸納、小結(jié)解法】
�。ń處熁顒�(dòng)）分析歸納例題的解題過程，小結(jié)對差式變形、確定符號(hào)的常用方法和利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟．
�。▽W(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上．
1．比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個(gè)式子大小的一種重要方法．
2．對差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．
3．會(huì)用分類討論的方法確定差式的符號(hào)．
4．利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟：①類比列方程解應(yīng)用題的步驟．②分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系（函數(shù)關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答．
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識(shí)體系．
�。ㄈ┬〗Y(jié)
（教師活動(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)及數(shù)學(xué)思想與方法．
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．
本節(jié)課學(xué)習(xí)了對差式變形的一種常用方法——因式分解法；對符號(hào)確定的分類討論法；應(yīng)用比較法的思想解決實(shí)際問題．
通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問題簡化是比較法證明不等式中所蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想，掌握求差后對差式變形以及判斷符號(hào)的重要方法，并在以后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)積累方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)的知識(shí)，領(lǐng)會(huì)化歸、類比、分類討論的重要數(shù)學(xué)思想方法．
�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)
1．課本作業(yè)：P17 7、8。
2，思考題：已知 ，求證
3．研究性題：對于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時(shí)間和船在靜水中來回行駛一次的時(shí)間是否相等？（假設(shè)船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設(shè)計(jì)意圖：思考題讓學(xué)生了解商值比較法，掌握分類討論的思想．研究性題是使學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力．
（五）課后點(diǎn)評
1．教學(xué)評價(jià)、反饋調(diào)節(jié)措施的構(gòu)想：本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，解決問題，反饋學(xué)習(xí)信息，調(diào)節(jié)教學(xué)活動(dòng)．
2．教學(xué)措施的設(shè)計(jì)：由于對差式變形，確定符號(hào)是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)差式變形的方法和符號(hào)的確定，例3和例4分別使學(xué)生掌握因式分解變形和分類討論確定符號(hào)，例5使學(xué)生對所學(xué)的知識(shí)會(huì)應(yīng)用．例題設(shè)計(jì)目的在于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，學(xué)會(huì)應(yīng)用．
作業(yè)答案
思考題：證明：
因?yàn)?sub> ，所以當(dāng) 時(shí)， ，故
又因?yàn)?sub> ，所以
當(dāng) 時(shí)， ，故 ，即 ，所以
當(dāng) 時(shí)， .故 ，即 ，所以
綜上所述，
研究性題：設(shè)兩地距離為 ，船在靜水中的速度為 ，水流速度為 （ ），則
所以船在流水中來回行駛一次的時(shí)間比在靜水中來回行駛一次的時(shí)間長．
第三課時(shí)
教學(xué)目標(biāo)
1.掌握綜合法證明不等式；
2.熟練掌握已學(xué)的重要不等式；
3.增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力.
教學(xué)重點(diǎn) 綜合法
教學(xué)難點(diǎn) 不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
�。ǎ⿲�(dǎo)入新課
�。ń處熁顒�(dòng)）打出字幕（課前練習(xí)），引導(dǎo)學(xué)生回憶所學(xué)的知識(shí)，盡量用多種方法完成練習(xí)，投影學(xué)生不同解法，并點(diǎn)評．
�。▽W(xué)生活動(dòng)）完成練習(xí)．
�。圩帜唬�
1．證明 （ ）．
2．比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論．
1．證法一：由 ，所以
方法二：由 ，知 ，即 ，所以
2．答：
證法一：由 ，所以
證法二：由 知 ，所以
�。埸c(diǎn)評］兩道題的證法一都是用的比較法，證法二我們在6．1節(jié)和6．2節(jié)已學(xué)過，這種方法是綜合法，是本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容．（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，復(fù)習(xí)比較法證明不等式，導(dǎo)入新課：綜合法證明不等式．提出學(xué)習(xí)任務(wù)．
�。ǘ┬抡n講授
【嘗試探索，建立新知】
�。ń處熁顒�(dòng)）教師提出問題：用上述方法二證明 ，并點(diǎn)評證法的數(shù)學(xué)原理，
（學(xué)生活動(dòng)）學(xué)生研究證明不等式．
[問題]證明
�。ㄗC明：因?yàn)?sub> ，所以 ，即 ．）
[點(diǎn)評]
�、倮媚承┮阎C明過的不等式（例如平均值定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法．
②綜合法證題方法：由已知推出結(jié)論．這里已知可以是已知的重要不等式，也可以是已知的不等式性質(zhì)．
設(shè)計(jì)意圖：探索解決問題的新方法，建立新知識(shí)，構(gòu)建用綜合法證明不等式的方法原理．
【例題示范、學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師板書例題，引導(dǎo)學(xué)生研究問題，構(gòu)思證題方法，學(xué)會(huì)用綜合法證明不等式，并點(diǎn)評用綜合法證明不等式必須注意的問題．
�。▽W(xué)生活動(dòng)）學(xué)生在教師誘導(dǎo)下，研究問題，與教師一道完成問題的論證．
例1 已知 ，求證
�。鄯治觯萦捎诓坏仁阶筮吺呛偷男问剑疫厼槌�(shù)，可用平均值定理作為已知不等式推證．
證明：因?yàn)?sub> ，則 ，所以 ．故
�。埸c(diǎn)評］此題的證明方法是綜合法，在證明過程中，把平均值定理作為已知不等式，而平均值定理是有條件限制的，所以要用重要不等式作為已知不等式，注意要證的不等式必須符合重要不等式的條件和結(jié)構(gòu)特征．
例2 已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證
[分析]由不等式右邊為6abc是積的形式，左邊是和的形式，可知由 出發(fā)可證．
證明一（見課本）
證明二：
因?yàn)?i>a，b，c是不全相等的正數(shù)．所以 ， ， ，且三式不能全取“=”號(hào)．
所以
即
[點(diǎn)評]
�、倬C合法的思維特點(diǎn)是：由已知推出結(jié)論．用綜合法證明不等式中常用的重要不等式有：
； （ ）； （ ）； （a，b同號(hào)）， （ ）。
�、诖死袟l件a，b，c是不全相等的正數(shù)，所以最后所證不等式取不到等號(hào)．
�、塾捎谧鳛榫C合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出
的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來證明．
我們在證明不等式時(shí)，選擇方法要適當(dāng)，不要對某種方法抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法．
設(shè)計(jì)意圖：鞏固用綜合法證明不等式的知識(shí)，掌握用綜合法證明不等式中，常用的重要不等式，理解綜合法證明不等式與比較法證明不等式的內(nèi)在聯(lián)系．
【課堂練習(xí)】
�。ń處熁顒�(dòng)）打出字幕（練習(xí)），請甲、乙兩位同學(xué)板演，巡視學(xué)生的解題情況，對正確的證法給予肯定，對偏差及時(shí)糾正，點(diǎn)評練習(xí)中存在的問題．
（學(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)．甲、乙兩位同學(xué)板演．
�。圩帜唬菥毩�(xí)1 已知，求證
2．已知 ，求證
設(shè)計(jì)意圖：掌握用綜合法證明不等式，并會(huì)靈活運(yùn)用重要不等式作為證明中的已知不等式．反饋課堂效果，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．
【分析歸納，小結(jié)解法】
（教師活動(dòng)）分析歸納例題和練習(xí)的解題過程．小結(jié)用綜合法證明不等式的解題方法．
�。▽W(xué)生活動(dòng)）與教師一道分析歸納，小結(jié)解題方法，并記錄在筆記本上．
1．綜合法是證明不等式的基本方法．用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： … （A為已經(jīng)證明過的不等式，B為要證的不等式）．即綜合法是“由因?qū)Ч保?/p>
2．運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已證明過的木等式時(shí)，要注意它們各自成立的條件，這樣才能使推理正確，結(jié)論無誤．
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握綜合法證明不等式的方法．
（三）小結(jié)
�。ń處熁顒�(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)．
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上．
本節(jié)課學(xué)習(xí)了用綜合法證明不等式，用綜合法證明不等式的依據(jù)是：l。已知條件和不等式性質(zhì)；2．基本不等式．能用綜合法證明的不等式一般可用比較法證明，用綜合法證明不等式的依據(jù)是基本不等式時(shí)，要注意定理的使用條件和定理中“=”號(hào)成立的條件．
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對所學(xué)知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)知識(shí)．
�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)
1．課本作業(yè)：P17 5．6．
2．思考題：若 ，求證
3．研究性題：某市用37輛汽車往災(zāi)區(qū)運(yùn)送一批救災(zāi)物資，假設(shè)以 千米／小時(shí)的速度直達(dá)災(zāi)區(qū)．已知某市到災(zāi)區(qū)的公路線長400干米，為安全需要，兩汽車間距不得小于 千米．
那么，這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)的最短時(shí)間是多少？
設(shè)計(jì)意圖：課本作業(yè)鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，思考題供學(xué)有余力的同學(xué)完成．研究性題培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．
�。ㄎ澹┱n后點(diǎn)評
1．在導(dǎo)入新課時(shí)設(shè)計(jì)了兩個(gè)練習(xí)題，尤其是稍放開一點(diǎn)的第2題，如果學(xué)生能自覺不自覺地用已學(xué)過的很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會(huì)很自然，即使學(xué)生沒有想到，教師引導(dǎo)起來也并不困難．因而順著學(xué)生的思路，幫助學(xué)生形成用綜合法證明不等式的知識(shí)結(jié)構(gòu)．
2．例1與例2的學(xué)習(xí)使學(xué)生理解掌握綜合法證明不等式的原理，發(fā)現(xiàn)綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系．在教學(xué)設(shè)計(jì)上，力圖從學(xué)生的需要出發(fā)設(shè)計(jì)問題，幫助學(xué)生抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)到的方法能用、會(huì)用．
作業(yè)答案
思考題：證明：因?yàn)?sub> ，又因?yàn)?sub> ，所以 ．同理 ； 將上述三個(gè)不等式相加得
所以
研究性題：設(shè)最后一輛車到達(dá)時(shí)用的時(shí)間為 小時(shí)，則
所以最短時(shí)間為12小時(shí)．
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