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壽險中的破產(chǎn)理論及應用
一、引言在我國保險公司的運作中，保費收入是主要收入來源，理陪是主要風險因素，為了保障保險公司的正常運作，保險公司必須充分考慮所面臨的風險，而破產(chǎn)理論的研究主要針對保險公司如何估計所面臨的風險，它主要研究在較長時間上保險公司發(fā)生盈余或破產(chǎn)的概率，以前我們所研究的破產(chǎn)理論主要是針對非壽險進行研究，并且主要考慮在理賠次數(shù)N(t)為泊松過程，理賠額S(t)為復合泊松過程情況下的盈余過程，在非壽險研究中得到一個Lundberg不等式，這個破產(chǎn)概率上界為保險公司的風險分析提供了有力工具。
本文利用（文獻[1]）風險理論，考慮在壽險中破產(chǎn)理論的研究，得到壽險破產(chǎn)模型，設計了求解壽險中的破產(chǎn)概率的一種算法，并得到壽險破產(chǎn)概率的一個上界。
二、單一年齡結(jié)構(gòu)下的破產(chǎn)模型
設壽險中，剛投保時（t=0時刻），年齡均為x的被保險人有n[,1]個，每個被保險人的死亡概率遵循相同的生命表，初始準備金為u[,1]，并且設
n[,k]：第k年年初時的被保險人數(shù)
c：被保險人每年所交的保險費
d[,k]：第k年內(nèi)(k,k+1)被保險人死亡的人數(shù) (1)
q[,x]；被保險人在(x,x+1)死亡的人數(shù)的概率
b：每個被保險人死亡時，保險人要支付的保險金
由此假定我們知：
t=0時刻被保險人的總數(shù)n[,1],n[,k]=n[,k+1]+d[,k]。
定義1 對任意t＞0，設c＞0為單位時間內(nèi)的保費收入率，s(t)為到時刻t保險公司支付的理賠總額，u(0)=u為時刻0時的初始準備金，則
u(t)=u+ct-s(t) (2)
稱為時刻t時的盈余
由(2)可見：這里的盈余并沒有考慮除了保費和理賠以外的影響盈余的因素，如附加費和保單持有人的分紅等，顯然，這種盈余并不是財務意義上的盈余，只是為了數(shù)學上處理方便而已…當盈余在某一時刻為負時，我們稱“破產(chǎn)”發(fā)生，既然此處盈余并不是財務意義上的盈余，則此時破產(chǎn)就不等價于保險公司真的破產(chǎn)，但破產(chǎn)是衡量保險公司金融風險的極其重要的尺度。我們僅定義時間不連續(xù)時的破產(chǎn)概率
定義2 稱Ψ[,t](u,n)=Pr｛u(t)＜0/｛u(τ)≥0，對某τ,τ=1,2,…t-1｝，為給定u,n時，第t年首次出現(xiàn)破產(chǎn)的概率。
設u[,k]表示第k年年初的準備金，且此時尚未收取第k年的保險費，v[,k]表示第k年年末的準備金，且此時尚未支付第k年年末的保險金，i是常數(shù)利率，則
v[,k]=(u[,k]+n[,k]c)(1+i) u[,k+1]=v[,k]-bd[,k]
定理1 壽險中，設初始準備金為u[,1],t=0時刻被保險人的總數(shù)n[,1]，且，c,q[,x],b滿足(1)的假設條件，則保險人在第t年末的破產(chǎn)概率
附圖
證明：被保險人在第一年末，可能發(fā)生死亡也可能不發(fā)生死亡，當死亡時，保險人由于支付保險金，可能導致破產(chǎn)發(fā)生，也可能不發(fā)生破產(chǎn)，我們考慮臨界狀態(tài)：即第1年年初所收保費與初始準備金之和等于第一年年末支付的保險金。bd[,1]=(u[,1]+n[,1]c)(1+i)，即
附圖
對給定的n[,1]，在第1年內(nèi)死亡人數(shù)的概率分布服從參數(shù)為(n[,1],q[,x])的二項分布，由此我們推得：
附圖
注：定理1給出求解破產(chǎn)概率的公式，實際上我們可以利用迭代法求解保險期內(nèi)任意年的破產(chǎn)概率。
實際上，壽險保險人數(shù)相當大，而且被保險人死亡的概率非常小，存活過保險期的人數(shù)也相當大。我們知道二項分布中當n[,1]充分大，q[,x]充分小時，由概率論中泊松定理知，泊松分布可更好逼近二項分布，記λ[,1]=n[,1]q[,x]，由泊松定理及定理1可得：
推論1 壽險中，設初始準備金為u[,1],t=0時刻被保險人的總數(shù)n[,1]，且c,d[,k],q[,x],b滿足(1)的假設條件，則保險人在第t年末的破產(chǎn)概率
附圖
三、不同年齡結(jié)構(gòu)下的破產(chǎn)模型
為便于研究，對壽險中的被保險人進行分組，不妨設，剛投保時（t=0時刻），年齡為x(j)的被保險人有n[,1](j)個，共分成m組（這m組相互獨立，且每個被保險人的死亡概率遵循相同的生命表），初始準備金為u[,1]，并且設
n[,k](j)表示第k年年初時的第j組的被保險人數(shù)
c(j)表示第j組的被保險人每年所交的保險費 (3)
d[,k](j)表示第k年內(nèi)(k,k+1)第j組保險人死亡的人數(shù)
q[,x(j)]表示第j組被保險人在(x,x+1)死亡的人數(shù)的概率
b表示每個被保險人死亡時保險人要支付的保險金
由此假定我們知：
附圖
附圖
四、破產(chǎn)概率上界
在非壽險破產(chǎn)理論研究中，人們得到破產(chǎn)概率的上界，即Lundberg不等式。本文證明了在壽險破產(chǎn)理論研究中，破產(chǎn)概率的上界仍然滿足Lundberg不等式。
附圖
附圖
定理2 壽險中，初始準備金為u[,1]，初始投保人數(shù)為N，則保險人的破產(chǎn)概率滿足：
附圖
由定理2我們看到當初始準備金u增大（減�。⿻r，破產(chǎn)概率上界減少（增大），即破產(chǎn)概率相應減小（增大），u趨于無窮時，破產(chǎn)概率為0。
五、算例
設對于保險期限為10年期的定期保險，有兩組被保險人，當t=0時，第一組被保險人數(shù)50人，年齡為40歲，第二組被保險人數(shù)100人，年齡為50歲，第一組被保險人每年交150元人民幣，第二組被保險人每年交250元人民幣，假定每個被保險人死亡時，保險人支付30000元人民幣保險金，利率i=0.03，死亡率遵循[2]附錄的生命表，由推論2和定理2可得：初始準備金為一萬元人民幣時，破產(chǎn)概率上界=0.36788
附圖
初始準備金為0時，破產(chǎn)概率上界=1
由此我們看到初始準備金增加時，破產(chǎn)概率減小，破產(chǎn)概率上界減小。
附圖
六、結(jié)論
本文對壽險中破產(chǎn)理論進行研究，給出了壽險中求解破產(chǎn)概率的一種算法，這種算法對于求解非壽險的破產(chǎn)概率仍然成立，并得到具有與非壽險破產(chǎn)概率相同的上界。這對促進壽險和非壽險風險理論研究的統(tǒng)一，具有拋磚引玉的作用。但在考慮影響保險公司盈余的附加費和保單持有人分紅等因素在破產(chǎn)理論中的研究仍需進一步探討。
【責任編輯】黃立虎
【參考文獻】
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5 Thomas Siegl,Robert F.Tichy.Ruin theory with risk proportional to the free reserve and securitization[J].Insurance: mathematics and Economics,1999,26:59-73.
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