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淺析數(shù)學(xué)直覺(jué)思維及培養(yǎng)
撫順市第十二中學(xué) 宋政一
傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往比較重視學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的培養(yǎng)而忽略了對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力的培養(yǎng)，其實(shí)，數(shù)學(xué)直覺(jué)思維也是一種很重要的思維形式。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中把原來(lái)的“ 邏輯思維能力”改為“思維能力”，雖然只刪除了兩個(gè)字，內(nèi)涵卻變得豐富了，這說(shuō)明我們不但要重視邏輯思維能力，而且也要重視非邏輯思維能力，特別是數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力。
人們?cè)陂L(zhǎng)期的教育實(shí)踐中實(shí)現(xiàn)了認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)變，在注重邏輯思維能力培養(yǎng)的同時(shí)，還注重觀察力、直覺(jué)力、想象力的培養(yǎng)。特別是直覺(jué)思維能力的培養(yǎng)由于長(zhǎng)期得不到重視，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)容易造成誤解，認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥乏味的；同時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)也缺乏取得成功的必要的信心，從而喪失數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。過(guò)多的注重邏輯思維能力的培養(yǎng)，不利于思維能力的整體發(fā)展。培養(yǎng)直覺(jué)思維能力是社會(huì)發(fā)展的需要，是適應(yīng)新時(shí)期社會(huì)對(duì)人才的需求。
一、數(shù)學(xué)直覺(jué)思維概念的界定
簡(jiǎn)單的說(shuō)，數(shù)學(xué)直覺(jué)思維是具有意識(shí)的人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象(結(jié)構(gòu)及其關(guān)系)的某種直接的領(lǐng)悟和洞察。
對(duì)于直覺(jué)作以下說(shuō)明：
(1)直覺(jué)與直觀、直感的區(qū)別
直觀與直感都是以真實(shí)的事物為對(duì)象，通過(guò)各種感覺(jué)器官直接獲得的感覺(jué)或感知。例如等腰三角形的兩個(gè)底角相等，兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質(zhì)的界定并沒(méi)有一個(gè)嚴(yán)格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺(jué)的研究對(duì)象則是抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其關(guān)系。龐加萊說(shuō)：“直覺(jué)不必建立在感覺(jué)明白之上．感覺(jué)不久便會(huì)變的無(wú)能為力。例如，我們?nèi)詿o(wú)法想象千角形，但我們能夠通過(guò)直覺(jué)一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個(gè)特例包括進(jìn)來(lái)�！庇纱丝梢�(jiàn)直覺(jué)是一種深層次的心理活動(dòng)，沒(méi)有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內(nèi)所說(shuō)：“這些富有創(chuàng)造性的科學(xué)家與眾不同的地方，在于他們對(duì)研究的對(duì)象有一個(gè)活全生的構(gòu)想和深刻的了解，這些構(gòu)想和了解結(jié)合起來(lái)，就是所謂直覺(jué)……，因?yàn)樗m用的對(duì)象，一般說(shuō)來(lái)，在我們的感官世界中是看不見(jiàn)的�！�
(2)直覺(jué)與邏輯的關(guān)系
從思維方式上來(lái)看，思維可以分為邏輯思維和直覺(jué)思維。長(zhǎng)期以來(lái)人們刻意的把兩者分離開(kāi)來(lái)，其實(shí)這是一種誤解，邏輯思維與直覺(jué)思維從來(lái)就不是割離的。有一種觀點(diǎn)認(rèn)為邏輯重于演繹，而直觀重于分析，從側(cè)重角度來(lái)看，此話(huà)不無(wú)道理，但側(cè)重并不等于完全，數(shù)學(xué)邏輯中是否會(huì)有直覺(jué)成分?數(shù)學(xué)直覺(jué)是否具有邏輯性?比如在日常生活中有許多說(shuō)不清道不明的東西，人們對(duì)各種事件作出判斷與猜想離不開(kāi)直覺(jué)，甚至可以說(shuō)直覺(jué)無(wú)時(shí)無(wú)刻不在起作用。數(shù)學(xué)也是對(duì)客觀世界的反映，它是人們對(duì)生活現(xiàn)象與世界運(yùn)行的秩序直覺(jué)的體現(xiàn)，再以數(shù)學(xué)的形式將思考的理性過(guò)程格式化。數(shù)學(xué)最初的概念都是基于直覺(jué)，數(shù)學(xué)在一定程度上就是在問(wèn)題解決中得到發(fā)展的，問(wèn)題解決也離不開(kāi)直覺(jué)，下面我們就以數(shù)學(xué)問(wèn)題的證明為例，來(lái)考察直覺(jué)在證明過(guò)程中所起的作用。
一個(gè)數(shù)學(xué)證明可以分解為許多基本運(yùn)算或許多“演繹推理元素”，一個(gè)成功的數(shù)學(xué)證明是這些基本運(yùn)算或"演繹推理元素"的一個(gè)成功的組合，仿佛是一條從出發(fā)點(diǎn)到目的地的通道，一個(gè)個(gè)基本運(yùn)算和“演繹推理元素”就是這條通道的一個(gè)個(gè)路段，當(dāng)一個(gè)成功的證明擺在我們面前開(kāi)始，邏輯可以幫助我們確信沿著這條路必定能順利的到達(dá)目的地，但是邏輯卻不能告訴我們，為什么這些路徑的選取與這樣的組合可以構(gòu)成一條通道。事實(shí)上，出發(fā)不久就會(huì)遇上叉路口，也就是遇上了正確選擇構(gòu)成通道的路段的問(wèn)題。龐加萊認(rèn)為，即使能復(fù)寫(xiě)出一個(gè)成功的數(shù)學(xué)證明，但不知道是什么東西造成了證明的一致性，……，這些元素安置的順序比元素本身更加重要。笛卡爾認(rèn)為在數(shù)學(xué)推理中的每一步，直覺(jué)力都是不可缺少的。就好似我們平時(shí)打籃球，要靠球感一樣，在快速運(yùn)動(dòng)中來(lái)不及去作邏輯判斷，動(dòng)作只是下意識(shí)的，而下意識(shí)的動(dòng)作正是在平時(shí)訓(xùn)練產(chǎn)生的一種直覺(jué)。
在教育過(guò)程中，老師由于把證明過(guò)程過(guò)分的嚴(yán)格化、程序化。學(xué)生只是見(jiàn)到一具僵硬的邏輯外殼，直覺(jué)的光環(huán)被掩蓋住了，而把成功往往歸功于邏輯的功勞，對(duì)自己的直覺(jué)反而不覺(jué)得。學(xué)生的內(nèi)在潛能沒(méi)有被激發(fā)出來(lái)，學(xué)習(xí)的興趣沒(méi)有被調(diào)動(dòng)起來(lái)，得不到思維的真正樂(lè)趣。《中國(guó)青年報(bào)》曾報(bào)道，“約30％的初中生學(xué)習(xí)了平面幾何推理之后，喪失了對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣”，這種現(xiàn)象應(yīng)該引起數(shù)學(xué)教育者的重視與反思。
二、直覺(jué)思維的主要特點(diǎn)
直覺(jué)思維具有自由性、靈活性、自發(fā)性、偶然性、不可靠性等特點(diǎn)，從培養(yǎng)直覺(jué)思維的必要性來(lái)看，筆者以為直覺(jué)思維有以下三個(gè)主要特點(diǎn)：
(1)簡(jiǎn)約性
直覺(jué)思維是對(duì)思維對(duì)象從整體上考察，調(diào)動(dòng)自己的全部知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)豐富的想象作出的敏銳
而迅速的假設(shè)，猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環(huán)節(jié)，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長(zhǎng)期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過(guò)程的高度簡(jiǎn)化，但是它卻清晰的觸及到事物的“本質(zhì)”。
(2)創(chuàng)造性
現(xiàn)代社會(huì)需要?jiǎng)?chuàng)造性的人才，我國(guó)的教材由于長(zhǎng)期以來(lái)借鑒國(guó)外的經(jīng)驗(yàn)，過(guò)多的注重培養(yǎng)邏輯思維，培養(yǎng)的人才大多數(shù)習(xí)慣于按部就班、墨守成規(guī)，缺乏創(chuàng)造能力和開(kāi)拓精神。直覺(jué)思維是基于研究對(duì)象整體上的把握，不專(zhuān)意于細(xì)節(jié)的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無(wú)意識(shí)性，它的想象才是豐富的，發(fā)散的，使人的認(rèn)知結(jié)構(gòu)向外無(wú)限擴(kuò)展，因而具有反常規(guī)律的獨(dú)創(chuàng)性。
伊恩．斯圖加特說(shuō)：“直覺(jué)是真正的數(shù)學(xué)家賴(lài)以生存的東西”，許多重大的發(fā)現(xiàn)都是基于直覺(jué)。歐幾里得幾何學(xué)的五個(gè)公設(shè)都是基于直覺(jué)，從而建立起歐幾里得幾何學(xué)這棟輝煌的大廈；哈密頓在散步的路上進(jìn)發(fā)了構(gòu)造四元素的火花；阿基米德在浴室里找到了辨別王冠真假的方法；凱庫(kù)勒發(fā)現(xiàn)苯分了環(huán)狀結(jié)構(gòu)更是一個(gè)直覺(jué)思維的成功典范。
(3)自信力
學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣的原因有兩種，一種是教師的人格魅力，其二是來(lái)自數(shù)學(xué)本身的魅力。不可否認(rèn)情感的重要作用，但筆者的觀點(diǎn)是，興趣更多來(lái)自數(shù)學(xué)本身。成功可以培養(yǎng)一個(gè)人的自信，直覺(jué)發(fā)現(xiàn)伴隨著很強(qiáng)的“自信心”。相比其它的物資獎(jiǎng)勵(lì)和情感激勵(lì)，這種自信更穩(wěn)定、更持久。當(dāng)一個(gè)問(wèn)題不用通過(guò)邏輯證明的形式而是通過(guò)自己的直覺(jué)獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內(nèi)心將會(huì)產(chǎn)生一種強(qiáng)大的學(xué)習(xí)鉆研動(dòng)力，從而更加相信自己的能力。
高斯在小學(xué)時(shí)就能解決問(wèn)題“1+2+ …… +99+100＝?”，這是基于他對(duì)數(shù)的敏感性的超常把握，這對(duì)他一生的成功產(chǎn)生了不可磨滅的影響。而現(xiàn)在的中學(xué)生極少具有直覺(jué)意識(shí)，對(duì)有限的直覺(jué)也半信半疑，不能從整體上駕馭問(wèn)題，也就無(wú)法形成自信。
三、直覺(jué)思維的培養(yǎng)
法國(guó)科學(xué)院院士狄多涅認(rèn)為：任何水平的數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的，無(wú)疑是使學(xué)生對(duì)他們要處理的數(shù)學(xué)對(duì)象有一個(gè)可靠的“直覺(jué)”。一個(gè)人的數(shù)學(xué)思維，判斷能力的高低主要取決于直覺(jué)思維能力的高低。徐利治教授指出：“數(shù)學(xué)直覺(jué)是可以后天培養(yǎng)的，實(shí)際上每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺(jué)也是不斷提高的。”數(shù)學(xué)直覺(jué)是可以通過(guò)訓(xùn)練提高的。在教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的一個(gè)重要方面，同時(shí)也能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。以下結(jié)合教學(xué)實(shí)際，談?wù)勗诮虒W(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺(jué)思維能力的幾點(diǎn)做法。
(1)鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想
數(shù)學(xué)猜想是依據(jù)某些數(shù)學(xué)知識(shí)和已知事實(shí)，對(duì)未知量及其關(guān)系作出的似真推理，是科學(xué)假說(shuō)在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，在數(shù)學(xué)中，將一些命題的結(jié)論暫不揭示，讓學(xué)生通過(guò)觀察、聯(lián)想、類(lèi)比、特殊化等方法，憑直覺(jué)進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，然后加以驗(yàn)證，是發(fā)展直覺(jué)思維能力的必要手段。
例如，解方程 。若采用“兩邊平方求解”的常規(guī)解法，結(jié)果出現(xiàn)大量的根式運(yùn)算。若猜想到根式定義，不難發(fā)現(xiàn)隱含條件：x=-3或x=1就是原方程的解。
(2)扎實(shí)的基礎(chǔ)是產(chǎn)生直覺(jué)的源泉
直覺(jué)不是靠“機(jī)遇”，直覺(jué)的獲得雖然具有偶然性，但決不是無(wú)緣無(wú)故的憑空臆想，而是以扎實(shí)的知識(shí)為基礎(chǔ)。若沒(méi)有深厚的功底，是不會(huì)進(jìn)發(fā)出思維的火花的。阿提雅說(shuō)：“一旦你真正感到弄懂一樣?xùn)|西，而且你通過(guò)大量例子以及通過(guò)與其它東兩的聯(lián)系取得了處理那個(gè)問(wèn)題的足夠多的經(jīng)驗(yàn)．對(duì)此你就會(huì)產(chǎn)生一種關(guān)于正在發(fā)展的過(guò)程是怎么回事以及什么結(jié)論應(yīng)該是正確的直覺(jué)�！卑⑦_(dá)瑪曾風(fēng)趣的說(shuō)：“難道一只猴了也能應(yīng)機(jī)遇而打印成整部美國(guó)憲法嗎?”
(3)重視解題教學(xué)
教學(xué)中選擇適當(dāng)?shù)念}目類(lèi)型，有利于培養(yǎng)，考察學(xué)生的直覺(jué)思維。
例如選擇題，由于只要求從四個(gè)選擇支中挑選出來(lái)，省略解題過(guò)程，容許合理的猜想，有利于直覺(jué)思維的發(fā)展。實(shí)施開(kāi)放性問(wèn)題教學(xué)，也是培養(yǎng)直覺(jué)思維的有效方法。開(kāi)放性問(wèn)題的條件或結(jié)論不夠明確，可以從多個(gè)角度由果尋因，由因索果，提出猜想，由于答案的發(fā)散性，有利于直覺(jué)思維能力的培養(yǎng)。
(4)設(shè)置直覺(jué)思維的意境和動(dòng)機(jī)誘導(dǎo)
這就要求教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，把主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生。對(duì)于學(xué)生的大膽設(shè)想給予充分肯定，對(duì)其合理成分及時(shí)給予鼓勵(lì)，愛(ài)護(hù)、扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺(jué)思維，以免挫傷學(xué)生直覺(jué)思維的積極性和學(xué)生直覺(jué)思維的悟性。教師應(yīng)及時(shí)因勢(shì)利導(dǎo)，解除學(xué)生心中的疑惑，使學(xué)生對(duì)自己的直覺(jué)產(chǎn)生成功的喜悅感。
“跟著感覺(jué)走”是教師經(jīng)常講的一句話(huà)，其實(shí)這句話(huà)里已蘊(yùn)涵著直覺(jué)思維的萌芽，只不過(guò)沒(méi)有把它上升為一種思維觀念。教師應(yīng)該把直覺(jué)思維冠冕堂皇的在
課堂教學(xué)中明確的提出，制定相應(yīng)的活動(dòng)策略，從整體上分析問(wèn)題的特征；重視數(shù)學(xué)思維方法的教學(xué)，諸如：換元、數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、反證法等，對(duì)滲透直覺(jué)觀念與思維能力的發(fā)展大有稗益。
(5)培養(yǎng)學(xué)生的審美意識(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)追求數(shù)學(xué)美
美的意識(shí)能喚起和支配數(shù)學(xué)直覺(jué)，數(shù)學(xué)事實(shí)間的最佳組合往往依靠“審美直覺(jué)”來(lái)作出的。數(shù)學(xué)美集中表現(xiàn)在數(shù)學(xué)本身的簡(jiǎn)潔性、對(duì)稱(chēng)性、相似性、和諧性、奇異性等。數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)直覺(jué)的本質(zhì)是某種‘美感’或‘美的意識(shí)’�！� 直覺(jué)的產(chǎn)生是基于對(duì)研究對(duì)象整體的把握，而哲學(xué)觀點(diǎn)有利于高屋建鄰的把握事物的本質(zhì)。這些哲學(xué)觀點(diǎn)包括數(shù)學(xué)中普遍存在的對(duì)立統(tǒng)一、運(yùn)動(dòng)變化、相互轉(zhuǎn)化、對(duì)稱(chēng)性等。例如：（a+b）2= a2+2ab＋b2 ，即使沒(méi)有學(xué)過(guò)完全平方公式，也可以運(yùn)用對(duì)稱(chēng)的觀點(diǎn)判斷結(jié)論的真?zhèn)巍?
美感和美的意識(shí)是數(shù)學(xué)直覺(jué)的本質(zhì)，提高審美能力有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)事物間所有存在著的和諧關(guān)系及秩序的直覺(jué)意識(shí)，審美能力越強(qiáng)，則數(shù)學(xué)直覺(jué)能力也越強(qiáng)。狄拉克于1931年從數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)的角度考慮，大膽的提出了反物質(zhì)的假說(shuō)，他認(rèn)為真空中的反電子就是正電子。他還對(duì)麥克斯韋方程組提出質(zhì)疑，他曾經(jīng)說(shuō)，如果一個(gè)物理方程在數(shù)學(xué)上看上去不美，那么這個(gè)方程的正確性是可疑的。
四、結(jié)束語(yǔ)
直覺(jué)思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會(huì)制約一個(gè)人思維能力的發(fā)展，伊思．斯圖爾特曾經(jīng)說(shuō)過(guò)這樣一句話(huà)，“數(shù)學(xué)的全部力量就在于直覺(jué)和嚴(yán)格性巧妙的結(jié)合在一起，受控制的精神和富有靈感的邏輯。”受控制的精神和富有美感的邏輯正是數(shù)學(xué)的魅力所在，也是數(shù)學(xué)教育者努力的方向。
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