小學數(shù)概念的發(fā)展及其教學的階段性

     
小學數(shù)概念是小學生正確進行列式、計算、判斷、推理等教學活動的基礎，是小學數(shù)學教學的一項重要內容，其主要任務是要使學生獲得科學、完整的數(shù)概念，但是小學生掌握數(shù)概念是一個主動的、復雜的過程，不能一次完成，而是隨著知識經(jīng)驗的發(fā)展，對已掌握的概念不斷加以充實和改造，于是對于某一種概念，教材對小學各年級學生要求掌握的廣度和深度是不一樣的，正如列寧所說：“認識是思維對客體的永遠的、沒有止境的接近�！睘榇吮疚脑噺男�學數(shù)概念發(fā)展規(guī)律和小學生掌握數(shù)概念的特點來闡述其教學中的階段性。

一、小學生數(shù)概念的逐步深刻化

小學生數(shù)概念的深刻化是他們思維發(fā)展的重要方面，小學生只有正確而深刻地掌握數(shù)概念，才能順利地進行抽象概括，形成判斷、推理，理解客觀事物，并發(fā)展分析問題和解決問題的能力。根據(jù)我國心理學家丁祖蔭的研究：小學生概念掌握表現(xiàn)了階段特征。

1、小學低年級學生，較多應用“具體實例”、“直觀特征”型式掌握概念，也就是說獲得數(shù)學概念的主要方式是“概念形成”，他們獲得數(shù)概念的過程，往往是個反復感知，辨認同類事物不同例子，分不同層次抽象概括其本質特征的過程。

一年級學生是這樣形成10以內數(shù)概念：數(shù)實物（使實物與數(shù)目相聯(lián)系）——撥算珠（抽象出事物的數(shù)量特征，用有形的算珠代表事物）——讀寫數(shù)字（用抽象的數(shù)字代替算珠）——形成數(shù)概念。

隨著數(shù)概念范圍逐步擴展，在學習20以內數(shù)、100以內數(shù)，萬以內數(shù)的認識過程中獲得數(shù)概念的方式是基本相同的，但每個階段具體要求是不同的，體現(xiàn)了從易到難，從簡單到復雜不同層次水平，從具體到抽象的順序不斷發(fā)展深化，下面就數(shù)數(shù)和讀寫數(shù)為例加以說明：

教學20以內認數(shù)時，在數(shù)實物的過程中突出“十”為單位的基礎上一個個地數(shù)，孕伏計數(shù)單位“十”和“一”；在讀寫數(shù)的過程中要憑借實物圖，從圖、數(shù)的對應地讀，寫做起，以便突出20以內數(shù)的組成。

教學100以內認數(shù)時，數(shù)實物要分層進行：第一層從二十起一根根地數(shù)到100，弄清100以內數(shù)的順序，第二層十根十根地數(shù)，數(shù)到100掌握整十數(shù)的順序并感知10個十是一百，第三層接近整十數(shù)往下數(shù)，突破認識100以內數(shù)的順序難點，第四層在數(shù)數(shù)的過程中憑借實物感知100以內數(shù)的組成，在讀、寫教學中不再依靠實數(shù)而是借助計數(shù)器。在感知數(shù)位的基礎上形成讀、寫一般表象“都從高位起”。

教學萬以內認數(shù)，有了100一以內數(shù)認識的基礎同時由于數(shù)的再擴展，所以通過計算器半軸象地進行數(shù)數(shù)練習；在讀、寫數(shù)教學中要提高抽象概括的水平，如讀數(shù)第一步通過656、3812兩數(shù)讀法總結出“從高位起”，按照數(shù)位順序讀，千位上是幾千，……個位上是幾就讀“幾”，第二步通過703、5006兩數(shù)讀法總結出“中間有一個0或兩個0，只讀一個零”，第三步通過400、8000兩個數(shù)的讀法總結出“末尾不管有幾個0，都不讀”，第四步通過3040讀法，最后總結性概括讀法。

2、小學中年級是處于直觀概括水平到抽象概括水平的過渡階段。學生的認識結構和認識發(fā)展水平已逐步具備概念同化的條件，數(shù)概念的學習可以運用已掌握的萬以內數(shù)的概念去理解新的多位數(shù)的概念，把萬以內數(shù)的概念與多位數(shù)的新概念進行聯(lián)系，實現(xiàn)知識遷移，使多位數(shù)概念的本領特征在學生頭腦中得到類化，從而得到融會貫通。

在多位數(shù)的讀法和寫法教學時，我們可以引導把10個一是十……10個一千是一萬的數(shù)法類推到10個一萬是十萬，……10個一千萬是一億……的數(shù)法，通過計數(shù)器上多次操作后概括出“10個較低的單位等于1個較高的單位，每個相鄰的單位之間的進率都是10”的十進制計數(shù)法；多位數(shù)的讀、寫法也可以從個級、萬級類推到億級，最后綜合概括。當然在訓練的過程中還應該注意借助計數(shù)器，數(shù)位順序作為中介逐步獨立抽象地讀、寫過渡。

至此為止，在學生頭腦中，仍只認識一些具體數(shù)，而不知道什么叫“數(shù)”，即使以后引進小數(shù)初步認識，學生也不知道數(shù)的各種類別，因此只要能讀會寫就可以了，沒有必要給出“整數(shù)”這個概念。

3、高年級的學生已初步形成數(shù)概念結構，分化融合新概念的能力大大提高，常常能利用舊的概念對新概念進行本質分析、判斷，逐漸能夠根據(jù)非直觀的“重要屬性”、“實際功能”、“種屬關系”掌握概念。在“數(shù)的整除”這單元中要經(jīng)常用到自然數(shù)、整數(shù)這兩個概念，因此必須使學生理解掌握和正確區(qū)分它們。首先可以分別運用舉例方法定義自然數(shù)概念，用來表示物體個數(shù)的1、2、3、4、……叫自然數(shù)。因為一個物體也沒有無需數(shù)數(shù)，“自然數(shù)和0都是整數(shù)”，而且簡要說明整數(shù)不僅是自然數(shù)和零，還包括其它的數(shù)，以增強概念科學性。

基于以上認識小學整數(shù)概念深刻化分為“二十以內”、“百以內”、“萬以內”、“多位數(shù)”、“整數(shù)”幾個階段循序漸進，螺旋上升式地發(fā)展，每個階段各有重點，“二十以內”以認識基數(shù)、序數(shù)，掌握計數(shù)單位“一”為重點；“百以內”以掌握計數(shù)單位“十”為重點；“萬以內”以掌握計數(shù)單“百”、“千”和數(shù)位為重點；多位數(shù)以掌握十進制計數(shù)法為重點；“數(shù)的整除”以定義整數(shù)概念為重點，經(jīng)過多次循環(huán)逐步完成小學階段整數(shù)的基本認識并不斷深化。

二、小學生數(shù)概念的逐步豐富化

在數(shù)學教學和實際生活的運算過程中，小學數(shù)的數(shù)概念迅速地獲得發(fā)展，數(shù)概念的內容不斷豐富，運算能力逐步地提高，其發(fā)展和豐富的趨勢為：

1、數(shù)概念的廣度和深度不斷發(fā)展

根據(jù)教材的編排，數(shù)概念認識是以整數(shù)為基礎按整數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的順序擴展其范圍，為體現(xiàn)認識的階段性，整數(shù)分五段逐步擴展其范圍，小數(shù)和分數(shù)又都分為兩個階段進行。第一階段都是結合實際初步感知，不給出定義；第二階段已具備抽象理解的條件又有前一階段教學的基礎，把感性的認識提高到理性，并不斷增加認識的深度，比如分數(shù)初步認識階段平均分的物件“一”與數(shù)量1所表示的意義是一致的（一個物體、一個圖形或一條線段）而在分數(shù)理性認識的第二階段對單位“1”的理解體現(xiàn)了一定深度（不僅可表示一個物體還可以表示一個計量單位，一類物體組成的一個整體）；在分數(shù)初步認識階段只從一個方面來認識意義，而在理性認識第二階段不僅要從定義上理解一般意義，還要就分數(shù)與除法的關系方面加以理解。

2、數(shù)概念的內涵逐漸豐富

小學數(shù)概念不僅按學生認識結構擴展不斷豐富，還將隨知識結構發(fā)展規(guī)律逐漸豐富其內涵完善數(shù)概念。如“0”的認識，小學生學習了數(shù)5以后就開始學了，這時“0”的意義有兩個：其一表示沒有；其二表示起點：在學習了萬以內數(shù)的讀寫以及被乘（除）數(shù)中間有0和末尾有0的乘除法以后，0起著占位的作用，表示一個單位也沒有，這是第一種意義的延續(xù)，到了學習用四舍五入法截取小數(shù)近似數(shù)這一內容時，“0”的意義增添了新的內涵，通過比較30與3，使學生明確小數(shù)末尾0，表示精確度（2.95 ~ 3.04）。當然“0”的意義還不止這三個方面，其它的到中學再學。

三、小學數(shù)概念的逐步系統(tǒng)化

兒童概念的發(fā)展不僅表現(xiàn)在概念本身的不斷充實和改造上，而且表現(xiàn)在概念系統(tǒng)的掌握上，因為小學生要掌握的概念不是各自孤立、互不相關的，任何一個概念總是與其他有關概念有一定區(qū)別又有一定聯(lián)系。因此教師要經(jīng)常不失時機地不斷引導學生掌握有關概念之間的區(qū)別和聯(lián)系，完成概念的系統(tǒng)化。

數(shù)學是一門邏輯性很強的學科，各個概念不是孤立存在，而是緊密聯(lián)系著的，要很好地掌握數(shù)概念和運用數(shù)概念，就不僅要掌握每個概念的內涵外延，還必須了解概念間的聯(lián)系，按邏輯角度引導學生掌握數(shù)概念基本的幾種關系（如下圖所示）。

 

 

無限小數(shù) 自然數(shù)

 

質數(shù) 整

素數(shù) 數(shù)

 

同一關系 交叉關系 矛盾關系 對立關系

 

“質數(shù)”和“素數(shù)”兩個概念在外延上完全重合，是同一關系；“自然數(shù)”的全部外延包含在“整數(shù)”和外延之中是從屬關系“偶數(shù)”和“質數(shù)”兩個外延只部分重合是交叉關系；“循環(huán)小數(shù)”和“不循環(huán)小數(shù)”兩個外延互相排斥而它們的外延相加的和又等于鄰近的種概念“無限小數(shù)”的外延是矛盾關系；“質數(shù)”和“合數(shù)”這兩個概念的外延互相排斥，而它們的外延相加的和小于鄰近的種概念“自然數(shù)”的外延是對立關系……

除此之外對于確定的概念從非邏輯的各種角度考慮還會有各種不同的關系；如20和5，從數(shù)字大小考慮是20＞5；把20看作單位“1”則是部分與整體關系；從“整除”的角度考慮又是約數(shù)和倍數(shù)關系……所以這些都是教師在教學中應該注意的。

由小到大地建立數(shù)概念系統(tǒng)。

數(shù)概念之間，前后之間，縱向之間的聯(lián)系，每個相對獨立數(shù)概念都是整個數(shù)概念之間的組成部分，教師在教學中要重視揭示這些概念之間的共通性。

（1）進行縱向疏理，前后溝通組建數(shù)概念小系統(tǒng)。如：

純小數(shù)

帶小數(shù)

有限小數(shù)

無限小數(shù)

 

 

（2）注意橫向溝通，套成數(shù)概念鏈。

如： 整 除

 

倍 數(shù) 約 數(shù) 奇數(shù)與偶數(shù)

 

公倍數(shù) 質數(shù)和合數(shù) 公約數(shù)

 

最小公倍數(shù) 分解質因數(shù) 最大公約數(shù)

 

互質數(shù)

 

（3）縱橫綜合，融會貫通，形成數(shù)概念網(wǎng)絡。

揭示了概念縱橫聯(lián)系后，還要逐步引導學生尋找小系統(tǒng)與小系統(tǒng)之間“聯(lián)結點”，穿線結網(wǎng)，聯(lián)結成概念較大系統(tǒng)并能化成學生頭腦中概念的認識結構。

零 質數(shù)—質因數(shù)—分解質因數(shù)

合數(shù)

整數(shù) 自然數(shù) 整除

奇數(shù)

偶數(shù)

數(shù) 按整數(shù)部分

小數(shù) 有限小數(shù)

無限小數(shù)

真分數(shù)

假分數(shù)—帶分數(shù)

應該強調，為幫助小學數(shù)概念系統(tǒng)化，要注意：必須按照概念系統(tǒng)本身的邏輯順序去掌握，做到循環(huán)漸進，因為知識本身是有序的；必須幫助學生學會對材料進行分類和系統(tǒng)化工作，也就是對許多有關概念進行抽象概括。

綜上所述，在教學中小學生從掌握表象到掌握概念，從掌握概念到深化發(fā)展概念，最后到概念系統(tǒng)化是小學數(shù)思維發(fā)展一般道路，也是我們進行概念教學應遵循的規(guī)律。