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數(shù)學教學論文："點”在臨界點“撥”在關(guān)鍵處 口王東
數(shù)學教學論文："點”在臨界點“撥”在關(guān)鍵處
口王東
�。ń幨腥A士實驗中學，江蘇江陰214421）
數(shù)學家喬治·波利亞在《怎樣解題》中提出：中學數(shù)學教育的根本宗旨是“教會學生思考”，“教師對學生的幫助要不多不少”，應當“不顯眼地幫助學生”，“應該順其自然”．學生在解題過程中，常常會出現(xiàn)這樣的情況，由于思維受阻，一時難以下手，這時需要教師用簡練、精辟的語言啟迪學生的思維，促使學生產(chǎn)生“頓悟”，此即謂之“點撥”．點撥是讓學生走出解題迷宮的有效方法，點撥是否恰當?shù)轿唬芊从吵鲆粋�教師的教學是否已走向成熟，教學是否具有藝術(shù)性．
新《課標》指出：教師應成為學生學習活動的組織者、引導者、合作者，為學生的發(fā)展提供良好的環(huán)境和條件，其主旨是強調(diào)了教師的作用和地位，即在學生迫切需要的時候給予指引、幫助、暗示、提醒等一系列巧妙、恰當?shù)狞c撥，精妙的點撥就是課堂教學中重要的一環(huán)，教師要努力做到“點”在思維的臨界點，“撥”在問題的關(guān)鍵處．
一、突破思維的臨界點，產(chǎn)生“茅塞頓開”之感
在一堂課的全程和一個教學環(huán)節(jié)中，從學生思維走向的情況看，便是學生感知教材或具體題目后，開始進入思維狀態(tài)，此時經(jīng)常會出現(xiàn)思維由活躍到受阻、停滯的過程，我們不妨把思維處于膠著狀態(tài)時，稱之為學生思維的臨界點，此時教師應當把準臨界點，適時點撥，讓學生突破思維的臨界狀態(tài)，完成思維質(zhì)的突破，帶學生進入“柳岸花明又一村”的佳境，
例1有一張8cmx8cm的正方形的紙片，面積是64cm2.把這張紙片按圖1左圖所示剪開，把剪出的4個小塊按圖1右圖所示重新拼合，這樣就得到了一個長為13cm，寬為5cm的長方形，面積是65cm2.這可能嗎？
課堂上，擺出這個問題后，我們應該給予學生充分的時間和空間來思考解決問題，學生思考過程中，都帶著懷疑的眼光看著圖1右圖，他們不會相信圖l右圖中紙片的面積是65cm2，但又無法說明自己觀察的結(jié)果是錯誤的．“僵局”在此出現(xiàn)，就在類似這樣的節(jié)骨眼上，也就是在學生思維的迷茫之際，即為思維的臨界點，筆者教學中根據(jù)課堂教學的推進，在三處進行了突破點撥．筆者點撥1，大家可以實際操作一下，大部分學生若有所悟，開始動手．操作中學生發(fā)現(xiàn)圖1右圖中紙片所示圖形不是長方形，因此不能用長方形的面積計算公式來計算面積，此時學生產(chǎn)生“茅塞頓開”之感．筆者點撥2，大家可以測量圖形左上角或者右下角，學生操作發(fā)現(xiàn)確實不是直角．筆者點撥3，告訴學生，這個想法是正確的，但最好能夠給出證明，引導學生經(jīng)歷一個由合情推理到演繹推理的過程．接下來的過程可以由學生自主探索，最后交流得出三角形不相似，并可以在證明過程中加深對相似圖形的理解．
學生的思維都會自然出現(xiàn)一個由活躍到受阻、停滯的過程，即出現(xiàn)臨界點，三次點撥，點在了學生思維的斷裂之處，這樣才能有利于學生思維的開通、開竅，促進思維的延伸，完成思維上的質(zhì)的突破，葉圣陶先生說：“教師之教，不在于全盤講授，而在于相機誘導，（325224.com）”所謂“相機誘導”，也就是適時點撥，使學生的思維在臨界點發(fā)生質(zhì)的飛躍，取得良好的教學效應，
二、建構(gòu)知識的生長點，產(chǎn)生“思路接通”效應
我們常常埋怨學生經(jīng)啟發(fā)后仍然無動于衷，其實是在我們的教學過程中，學生的思維尚未進入“憤”、“悱”狀態(tài)，教師啟發(fā)的“機”與“時”把握得不準而造成的．只有創(chuàng)設(shè)一定的思維情境，引領(lǐng)學生的思維進入狀態(tài)，點撥方能奏效．撥要撥在關(guān)鍵處，如果撥的時機過早，學生缺乏一定的思維主動，不能建構(gòu)新舊知識的生長和聯(lián)系，達不到思路的接通效應，思維過程則是由老師直接強加給他，我們稱之為“被思維”或者“偽思維”．如果學生經(jīng)過自己的思考，完成了思維的全過程，得到了正確的結(jié)論，那么，教師就不必講授，這就節(jié)約了時間，提高了教學效率．
例2如圖2，在△ABC中，點D是AC上的一個動點，過點0作直線mn／／BC，設(shè)MN交LBCA的平分線于點E，交LBCA的外角平分線于點F(1)請猜測OE與OF之間的關(guān)系，并說明你的理由；(2)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？寫出推理過程．
我們可以對比以下的兩種點撥過程：
1．某老師忽視給學生留思維時間，讀完題后就向?qū)W生提問：(i)由CE，CF分別為△ABC的內(nèi)外角平分線，我們可以得到什么？學生回答兩組角相等；由MN∥BC，我們可以得到什么？學生說角相等；有這么多角相等，我們可以得到哪些角也是相等的呢？學生這樣解決了問題(1).老師說四邊形AECF中，已經(jīng)有哪些條件了？學生說OE=OF=OC，顯然條件在對角線上，那么請同學們想想，對角線滿足什么特征的四邊形是矩形呢，學生回答出也就解決問題(2)了．
2．另一位老師讓學生讀完題后，先自主探索．當學生思考一段時間感覺有困難時，教師請學生先看圖3，已知OC平分LAOB，CD∥OB，觀察△OCD是什么三角形．學生可以順利得出結(jié)論，并能從中歸納出角平分線、平行線都可以得角相等，由角相等可以轉(zhuǎn)化成邊相等，進而可以解決第一個問題了，學生歸納出后，還可以繼續(xù)點撥，在平行線的條件下，通過增加角平分線可以構(gòu)建一個等腰三角形，延伸可得，這三個條件組合，有其中任意兩個作為題設(shè)，第三個就可以作為結(jié)論，這樣問題(1)解決了，問題(2)可由學生自主解決．
分析這兩種點撥，我們不難發(fā)現(xiàn)第一位老師總是一點一滴地“點撥”學生．看到這個條件，能想到什么結(jié)論？要證明這個結(jié)論，需要什么條件？這種“引君入甕”般點撥使學生得到問題的解答，整個環(huán)節(jié)似乎非常流暢，但這并不能真正培養(yǎng)學生的思維，這樣的教學并沒有讓學生整體地面對問題、整體地思考問題、獨立地探究問題，因而不能在新舊知識上建構(gòu)知識生長點，學生缺失建立思路的可能性，更談不上接通思路了，顯然，這樣的教學是不利于學生的終身發(fā)展的，
而第二位老師的點撥過程，在學生在思維的臨界點處點撥，學生已經(jīng)可以把單獨的思路如角平分線性質(zhì)，平行線的性質(zhì)建構(gòu)起來，教師的點撥起到了接通學生思路的效果，即把角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)聯(lián)系起來，讓學生在知識上生長了新的知識，形成經(jīng)驗，促使學生主動思維，提升思維的能動性．
三、激活思維的興奮點，產(chǎn)生“得寸進尺”欲望
在點撥藝術(shù)上，抓住時機是最為重要的．教學過程是師生相互交流的過程，學生苦思冥想，解決不了問題時，我們的點撥就會像及時雨那樣澆灌學生的心靈，激活學生思維的興奮點，讓學生產(chǎn)生“得寸進尺”的欲望．當然如果我們一味地調(diào)動學生的胃口，不能及時點撥，也會給學生造成心理的障礙，使學生害怕解決數(shù)學問題，導致失去興趣．
例3如圖4，有一塊塑料矩形模板ABCD，長為lOcm，寬為4cm，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點P落在AD邊上（不與A，D重合），在AD上適當移動三角板頂點P．(1)能否使你的三角板兩直角邊分別通過點B與點C?若能，請你求出這時AP的長；若不能，請說明理由.(2)再次移動三角板位置，使三角板頂點P在AD上移動，直角邊PH始終通過點B，另一直角邊PF與DC延長線交于點Q，與BC交于點E，能否使CE-2cm?若能，請你求出這時AP的長；若不能，請你說明理由，
首先讓學生獨立思考問題，當學生達到“憤”與“悱”的狀態(tài)時，我們可以進行點撥。
問題(1)這問較為簡單，大部分學生能獨立完成，筆者引導學生畫出如圖5的簡單圖形，
由LA=LD=LBPC=900，可得△ABP一△DPC，從而解決問題．
問題(2)由學生畫出如圖5的圖形，進行思考探究．教師巡視可以發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學生不易解決．這時教師就會點撥，大家可以從圖形中，尋找相似的三角形，如△QCE△QDP´-△PAB，然后可以通過方程思想來解決，此時學生可以開始進行深度探究了，個別環(huán)節(jié)可以師生共同完成．這個環(huán)節(jié)結(jié)束后，或許還有老師會點撥學生借助相似并結(jié)合直角三角形勾股定理來解決，但由于這個方法非常麻煩，不宜讓學生將這種方法深入下去，否則就會失去時機．那么我們應該怎么辦呢，由于剛才的第一種方案就已經(jīng)把問題的解決方法變得麻煩了，所以此時教師應該抓住時機，點撥學生，能否從第一問中達到啟發(fā)，利用化歸的數(shù)學思想方法來解決這個問題，
點撥過程：在問題(1)的解決中，我們利用了AABP△DPC，現(xiàn)在直角三角形的另一邊沒有經(jīng)過C點，而是經(jīng)過了BC邊上的E點，這樣我們可以把此時的△PFE看成△DPC(如圖6)，即將CD平移至EF的位置，接下來由學生完成思路的延續(xù)和問題的解決，
兩種思路的對比我們會發(fā)現(xiàn)后，學生發(fā)現(xiàn)原來如此，此時學生心情非常愉悅，思維也達到了興奮的狀態(tài)．這時教師繼續(xù)點撥此類問題在解決的過程中，圖形發(fā)生了變化，然而解決問題時如果能利用化歸思想，轉(zhuǎn)化的方法，往往可以更好更快捷簡便地解決類似的問題，學生此處的收獲就會很大，效率更高，超越了一個題目自身的解決價值，發(fā)揮了題目的最大價值，讓學生有“得寸進尺”的解題欲望，而非懼怕數(shù)學的心理．
隨著新課程改革的深入，課堂教學中師生的地位轉(zhuǎn)變越來越受到重視．課堂上以生為本，提高課堂教學效率成為了主旋律．充分考慮學生主體地位，在學生最為需要時給予思路的指引，方法的引導，是提高教學有效性的重要環(huán)節(jié)．在解題教學過程中，教師既要有充分的準備，也要能把握好臨場的教學時機；教師既要能身心俱人其境，也要能保持清晰的思維，要敏銳地捕捉到學生思維的信息并進行迅速、深入地加工、重組、提煉，面對學生思維活動中的停滯、定勢、中斷、旁逸等問題，教師總能迅速判斷，即時點撥，“塞者鑿之，陡者級之，斷者架木通之，懸者置梯接之”，以促使學生思維品質(zhì)得到不斷提升．
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