培養(yǎng)算法意識(shí)遵守解題規(guī)則

　　培養(yǎng)算法意識(shí)遵守解題規(guī)則

　　陳禎仔

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　　每一個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都對(duì)應(yīng)著一個(gè)算法，研究問題的解決方法就是研究算法。時(shí)常學(xué)生會(huì)問老師您的解答是怎樣想到的？我怎么就想不到呢？其實(shí)在大多數(shù)情況下，學(xué)生解題時(shí)不知道自己是否要遵循什么規(guī)則與方法，誤打誤撞就把數(shù)學(xué)問題解決了。數(shù)學(xué)解題，是一種有目的、有計(jì)劃的心智活動(dòng)，要求解題者遵守一定的解題規(guī)則。學(xué)生解題規(guī)則的自覺遵守是解題教學(xué)的核心目標(biāo)，因此解題教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生的算法意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生解題規(guī)則的不自覺遵守轉(zhuǎn)化為有意識(shí)、有目的、有策略的運(yùn)用。下面以一節(jié)公開課的片段為例，談?wù)劰P者對(duì)培養(yǎng)學(xué)生算法意識(shí)的幾點(diǎn)體會(huì)。

　　一、案例實(shí)錄

　　人教A版必修四平面向量復(fù)習(xí)課。

　　例題1:已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為CD的中點(diǎn)，則教師解法1:以A為原點(diǎn)，以AB方向?yàn)閤軸的正方向，以AD方向?yàn)閥軸的正方向，則A（0,0），B（2,0），D（0,2），E（1,2），

　　教師：當(dāng)向量用坐標(biāo)表示以后，向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積運(yùn)算就變成了代數(shù)運(yùn)算。本題適合建立平面直角坐標(biāo)系，簡(jiǎn)潔高效，這是大多數(shù)學(xué)生首選的解法，也有學(xué)生不建立平面直角坐標(biāo)系，用基底……

　　教師話音未落，部分學(xué)生不耐煩地小聲說："這么簡(jiǎn)單的問題還想一題多解？"

　　教師默然，以學(xué)定教嘛，就讓學(xué)生思考下面問題：

　　例題2:在平行四邊形ABCD中，AD=1,∠BAD=60°，E為CD的中點(diǎn)，若，則AB的長(zhǎng)為學(xué)生思考，教師巡視，發(fā)現(xiàn)用基底表示向量的學(xué)生解題思路明確，解題過程在有序進(jìn)行。選擇建立平面直角坐標(biāo)系的學(xué)生，部分由于建立坐標(biāo)系時(shí)原點(diǎn)選擇不妥，點(diǎn)的坐標(biāo)不好表示，以為方法不對(duì)，正在困惑著。

　　教師：向量問題如果平面直角坐標(biāo)系不好建立時(shí)，應(yīng)當(dāng)選擇一組基底，把所要求的向量用基底表示出來(lái)，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算，就可以求出AB的長(zhǎng)。當(dāng)然建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)，完全可以求出A,B,C,D的坐標(biāo)。

　　學(xué)生1:以A為原點(diǎn)，以AB方向?yàn)閤軸的正方向，過A且垂直于AB的方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0,0），B（a,0），

　　教師：解決向量問題的主要思路是建立直角坐標(biāo)系或用基底表示向量，當(dāng)平面直角坐標(biāo)系不好建立時(shí)，用基底來(lái)表示向量是常規(guī)解法。事實(shí)上，一組基底也是一個(gè)坐標(biāo)系，只不過是斜坐標(biāo)系。

　　二、反思與對(duì)策

　　復(fù)習(xí)課上教師常對(duì)學(xué)生會(huì)做但解法冗長(zhǎng)、會(huì)做但做不全的問題引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納、優(yōu)化解法，總結(jié)解題規(guī)則。但學(xué)生經(jīng)常把答案正確的數(shù)學(xué)問題、會(huì)做但做不全的數(shù)學(xué)問題、會(huì)做但得不出結(jié)論的問題都當(dāng)成自己掌握了問題解法，不希望教師在課堂上幫助他們優(yōu)化解題思路，歸納解題規(guī)則。課堂上，只喜歡教師分析講解思路不清晰的數(shù)學(xué)問題，喜歡聽講解題方法，不喜歡聽講為什么這么解，不喜歡遵守解題規(guī)則。學(xué)生做練習(xí)只是完成教師布置的任務(wù)，解題生搬硬套，遇到不順手的問題不從解題方法、解題規(guī)則上尋找思路，而是百度搜索，拍提神器，參考書抄寫，并不在乎練習(xí)完成的質(zhì)量。課余時(shí)間無(wú)所事事，不想看書，更談不上對(duì)所學(xué)知識(shí)、思想方法、解題規(guī)則進(jìn)行歸納、總結(jié)、概括，內(nèi)化吸收。

　　學(xué)生是鮮活的，不斷變化的，每一個(gè)學(xué)生都是一個(gè)獨(dú)立的個(gè)體，一個(gè)獨(dú)特的思維空間。面對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜的學(xué)生思維差異，使學(xué)生明確算法是解決某一個(gè)或一類數(shù)學(xué)問題的一種程序化方法。比如，幫助學(xué)生總結(jié)向量問題的算法主要是建立坐標(biāo)系或選擇一組基底，那么遇到向量問題，學(xué)生思路清晰，就可以避免解題誤打誤撞。事實(shí)上，學(xué)生解題或多或少都在不自覺地應(yīng)用著算法思想，只是缺乏從算法的角度去觀察問題和思考問題。課堂教學(xué)應(yīng)該促使學(xué)生講規(guī)則地學(xué)，遵守規(guī)則解題，培養(yǎng)學(xué)生的算法意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生思維能力的發(fā)展。

　　1.利用問題驅(qū)動(dòng)幫助學(xué)生總結(jié)解題規(guī)則，培養(yǎng)算法意識(shí)

　　本節(jié)課教師課堂教學(xué)預(yù)設(shè)是先講例題1的解法1和解法2（即用基底表示向量），然后引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解決向量問題的兩種解法，接著用例題2當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練。但課堂上學(xué)生認(rèn)為會(huì)做的題目不需要老師花時(shí)間講解，課堂生成了新問題，教師的課堂預(yù)設(shè)無(wú)法實(shí)施。學(xué)生會(huì)做的題目要不要講，關(guān)鍵在于講什么。學(xué)生解決簡(jiǎn)單問題的重點(diǎn)在于加深對(duì)概念的理解，總結(jié)解題規(guī)則清晰算法。例題1屬于簡(jiǎn)單問題，教學(xué)重點(diǎn)在于幫助學(xué)生理清解題規(guī)則，明確算法。教師可從問題本質(zhì)入手，利用問題驅(qū)動(dòng)，以設(shè)問的方式引導(dǎo)學(xué)生積極思維，化被動(dòng)聽為主動(dòng)思考，幫助學(xué)生理清解題規(guī)則，培養(yǎng)算法意識(shí)。

　　上課伊始，教師直接展示兩種解法，學(xué)生閱讀并思考以下幾個(gè)問題：

　�。�1）解法1的解題依據(jù)是什么？

　�。�2）解法2中，向量用哪一組基底表示比較好？

　�。�3）建立平面直角坐標(biāo)系的條件是什么？

　�。�4）你還有其他的解題方法嗎？

　　小組交流討論后，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)向量數(shù)量積兩種計(jì)算方法的條件：如果模長(zhǎng)和夾角已知或容易求，就選擇公式求解；若向量坐標(biāo)已知或平面直角坐標(biāo)系容易建立，就選擇公式=x1x2+y1y2求解；既有模長(zhǎng)和夾角，又有向量坐標(biāo)，就要聯(lián)合兩個(gè)公式求解。向量既有代數(shù)性質(zhì)又有幾何意義，恰好體現(xiàn)在向量數(shù)量積的兩個(gè)計(jì)算公式上，向量的數(shù)量積是利用向量解決數(shù)學(xué)問題的主要工具。在問題的引領(lǐng)下，學(xué)生的思維能力被激活，知道了求向量數(shù)量積可以根據(jù)已知條件選擇不同的算法。此時(shí)教師拋出問題2,學(xué)生解題時(shí)底氣充足，解題規(guī)則清楚，算法明確，能取得事半功倍的效果。

　　2.一題多解幫助學(xué)生整理解題規(guī)則，突出算法思想

　　學(xué)生生活背景和思考角度不同，對(duì)數(shù)學(xué)問題的想法也五花八門，所使用的解題方法必然是多樣的。一題多解是指從多種知識(shí)、不同角度，運(yùn)用不同的思維方式來(lái)解答同一個(gè)問題的思考方法。一題多解，充分揭示數(shù)學(xué)問題的豐富內(nèi)涵，展示數(shù)學(xué)問題算法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；一題多解，突出算法思想，能開拓學(xué)生解題思路，引導(dǎo)學(xué)生更深入地探究問題。如，在復(fù)習(xí)選修4-5不等式選講時(shí)，可用例3歸納不等式證明常用的方法。

　　3.多題一解幫助學(xué)生辨析解題規(guī)則，展示算法魅力

　　培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的主要途徑是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，對(duì)學(xué)生進(jìn)行過多的解題訓(xùn)練，反而會(huì)制約學(xué)生思維能力的發(fā)展，使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)失去興趣。實(shí)踐證明，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)典型例題解法的總結(jié)、回味與提煉，能使學(xué)生變重解題的數(shù)量為重解題的質(zhì)量。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思，力求做到解決一道題，悟出一些方法、道理和算法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過適當(dāng)?shù)亩囝}一解訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)某一類型問題固化某一種解法或算法。比如，圓錐曲線與直線的位置關(guān)系，最值、零點(diǎn)與單調(diào)性問題等都有相類似的解法和算法，充分展示算法的魅力。

　　4.一題多變幫助學(xué)生認(rèn)準(zhǔn)解題規(guī)則，感受算法思想

　　一題多變是指對(duì)原來(lái)問題的條件或結(jié)論的知識(shí)載體進(jìn)行引申，把相關(guān)知識(shí)進(jìn)行遷移、運(yùn)用，變出的問題結(jié)構(gòu)與原題基本相同的一種變題方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，改變例題中部分條件或者結(jié)論，形成新問題，幫助學(xué)生認(rèn)準(zhǔn)解題規(guī)則，有利于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，感受算法思想。例如，在復(fù)習(xí)恒成立問題時(shí)，可由以下例題教學(xué)變式訓(xùn)練。

　　例題4:當(dāng)x>1時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為。

　　變式一：當(dāng)x>3時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范為。

　　變式二：已知函數(shù)f（x）=x2-（1+a）x+1+a,若f（x）>0在區(qū)間R上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為。

　　變式三：已知函數(shù)f（x）=x2-（1+a）x+1+a,若f（x）>0在區(qū)間（1,+∞）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為。

　　變式四：已知函數(shù)f（x）=x2-（1+a）x+1+a,若f（x）>0在區(qū)間（1,+∞）上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為。

　　總之，自覺應(yīng)用算法思想，遵守解題規(guī)則，能最大程度地避免解題時(shí)誤打誤撞，節(jié)省解題時(shí)間，提高解題效率。解題教學(xué)的目標(biāo)就是要指導(dǎo)學(xué)生反思解題過程，優(yōu)化解題思路，提煉解題規(guī)律，最終習(xí)得解題規(guī)則和算法思想。