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數(shù)學(xué)模型在社會各領(lǐng)域中應(yīng)用的教學(xué)研究
數(shù)學(xué)模型在社會各領(lǐng)域中應(yīng)用的教學(xué)研究
王岳
�。�(jì)南職業(yè)學(xué)院，山東濟(jì)南250014）
摘要：現(xiàn)代社會中，數(shù)學(xué)模型已被廣泛應(yīng)用于社會各個領(lǐng)域的研究和發(fā)展中。因此，在高職數(shù)學(xué)的教學(xué)中，教師既要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)中的思想方法和理論知識，又要善于引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決問題的能力，為他們將來從事各種職業(yè)時應(yīng)用數(shù)學(xué)模型打下良好基礎(chǔ)。本文結(jié)合數(shù)學(xué)模型在各領(lǐng)域中的應(yīng)用案例研究，提出在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視對高職生進(jìn)行突出專業(yè)特色和職業(yè)特點的職業(yè)化教學(xué)。
關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域；軍事領(lǐng)域；司法領(lǐng)域；電學(xué)領(lǐng)域
基金項目：濟(jì)南職業(yè)學(xué)院2013年度教改立項課題“依托數(shù)學(xué)建模競賽，促進(jìn)高職數(shù)學(xué)教學(xué)改革”（編號：2013JG0334）
作者簡介：王岳（1978-），女，山東濟(jì)南人，碩士，研究方向：數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論。
數(shù)學(xué)作為一種強(qiáng)有力的工具，已經(jīng)被滲透到社會生活的各個領(lǐng)域中。數(shù)學(xué)模型已被廣泛應(yīng)用于社會各個領(lǐng)域的研究和發(fā)展中，為人們的日常生活、技術(shù)發(fā)展和科技進(jìn)步做出越來越直接的貢獻(xiàn)。
一、數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中應(yīng)用的教學(xué)研究
在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)模型無處不在，數(shù)學(xué)的應(yīng)用理論和建模方法已滲透到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的各方面。
案例1：【企業(yè)年度總成本預(yù)測】某企業(yè)生產(chǎn)一種設(shè)備，在2008年到2012年的五年內(nèi)該設(shè)備的產(chǎn)量和成本分別為：2008年共生產(chǎn)10臺設(shè)備，每臺成本600元；2009年共生產(chǎn)40臺設(shè)備，每臺成本300元；2010年共生產(chǎn)30臺設(shè)備，每臺成本450元；2011年共生產(chǎn)20臺設(shè)備，每臺成本550元；2012年共生產(chǎn)50臺設(shè)備，每臺成本400元。若該企業(yè)計劃該設(shè)備的年度產(chǎn)量為60臺，試預(yù)測該企業(yè)的年度總成本。
數(shù)學(xué)模型：線性回歸模型：解由題意得，確定了單位成本后，總成本y只受到產(chǎn)量x的影響，總成本y的線性函數(shù)可表示為y=a+bx（a，b為待定系數(shù)）。假設(shè)預(yù)測的總成本的數(shù)學(xué)模型為yi=a+bxi，要使yi與y最接近，根據(jù)最小二乘法，只要使它們所有誤差的平方和Q為最小即可，對a，b分別求一階偏導(dǎo)數(shù)，并令這兩個偏導(dǎo)均為零，從而解出b=290，a=3800。從而得到預(yù)測的年度總成本函數(shù)為：y=2800+290x。因此，該企業(yè)計劃年度生產(chǎn)60臺設(shè)備時，預(yù)測年度總成本為：y=21200元。
由上述a，b的求解過程可以看出，任意給定一組數(shù)據(jù)（xi，yi），都可以推算出a，b，建立一元線性回歸方程。因此為了把握預(yù)測的準(zhǔn)確程度，我們還要對所求結(jié)論進(jìn)行相關(guān)性檢驗，計算相關(guān)系數(shù)。設(shè)相關(guān)系數(shù)為r（-1≤r≤1），的絕對值越接近于1，說明x與y之間的線性關(guān)系越密切。r=1時，說明x與y之間完全正相關(guān)；r=-1時，說明x與y完全負(fù)相關(guān)；r=0時，說明x與y之間不存在任何聯(lián)系。此題在預(yù)測分析中由于產(chǎn)量或成本均不會為負(fù)，因此只有r趨近于1時才有實際意義。利用相關(guān)系數(shù)的計算公式最終求得本例中r=0.9073，這說明該種設(shè)備的產(chǎn)量與設(shè)備總成本具有高度的正向相關(guān)性。因此，以上對該企業(yè)年度總成本的預(yù)測結(jié)果是可靠的。
實踐證明，用數(shù)學(xué)模型對經(jīng)濟(jì)預(yù)測時所作的定性和定量分析是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)�、縝密的、可信的。對財經(jīng)類和經(jīng)管類學(xué)生，案例的選擇要更多地結(jié)合當(dāng)今社會的經(jīng)濟(jì)發(fā)展背景，突出專業(yè)特色，使學(xué)生切實感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用性和價值。
二、數(shù)學(xué)模型在軍事領(lǐng)域中應(yīng)用的教學(xué)研究
在軍事方面，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用越來越廣泛，大大加快了軍事科學(xué)的前進(jìn)步伐。軍事發(fā)展中逐漸形成的軍事統(tǒng)計學(xué)、軍事運(yùn)籌學(xué)等都是在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中取勝所必不可少的工具。數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中的應(yīng)用更是任何龐大、優(yōu)良的軍隊也無法替代的。其中，概率統(tǒng)計模型在分析、制定作戰(zhàn)方案方面就起到了重要作用。
案例2：【盟軍運(yùn)輸船編隊方案】在二戰(zhàn)中，盟軍為了和德軍作戰(zhàn)，其大批量的軍用物品都要通過船隊從大西洋運(yùn)往各個戰(zhàn)場。起初，負(fù)責(zé)運(yùn)送軍用物資的盟軍船經(jīng)常被德國潛艇襲擊，損失十分慘重。針對德軍的潛艇戰(zhàn)，美軍將領(lǐng)專程請來一位數(shù)學(xué)家出謀劃策。數(shù)學(xué)家運(yùn)用概率論分析后發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，很快解決了問題。
數(shù)學(xué)模型：概率模型：解因為運(yùn)輸船隊與敵軍潛艇在運(yùn)輸海域中有可能相遇，也有可能不相遇，所以船隊與敵軍潛艇相遇是一個隨機(jī)事件。如果我們從概率論的角度來看待這一問題，能發(fā)現(xiàn)一定的規(guī)律：對于一定數(shù)量的船只，編隊的規(guī)模越小，船隊的批次就越多，途中遭遇敵潛艇的可能性也就越大。因為敵潛艇的數(shù)量與船隊的數(shù)量相比肯定是較少的，且潛艇所載彈藥有限，因此每次襲擊，不論船隊規(guī)模多大，被擊沉的數(shù)目應(yīng)該大致相等。所以一旦船隊與敵潛艇相遇，船隊的規(guī)模越小，每艘船被擊中的概率就越大。
假如盟軍的運(yùn)輸船共有100只，若對所有運(yùn)輸船進(jìn)行編隊，按每隊20只船，可編成5隊；若按每隊10只船，可編成10隊。這兩種編隊方式與德軍潛艇相遇的可能性之比為5∶10，即1∶2。假設(shè)每次德軍潛艇擊毀5只運(yùn)輸船，那么，上述兩種編隊方式中每艘船被擊沉的可能性之比為5/20∶5/10=1∶2。從以上兩方面分析來看，兩種編隊方式中每艘運(yùn)輸船與敵潛艇相遇并被擊中的可能性之比為1∶4。這說明，對于100艘運(yùn)輸船，編成5隊比編成10隊的危險性小。即：船隊規(guī)模越大，批次越少，被敵潛艇襲擊的風(fēng)險越小。
數(shù)學(xué)家用數(shù)學(xué)模型分析后給出了改進(jìn)編隊和運(yùn)送方式的建議，盟軍統(tǒng)帥依此建議，命令運(yùn)輸船不再由各個港口分散啟航，而是讓船隊在指定海域集合后在護(hù)航艦護(hù)衛(wèi)下集體通過危險海區(qū)，再分別駛向目標(biāo)港口。船隊調(diào)整后，很快盟軍船隊被德戰(zhàn)艦擊中的概率就由原來的25%銳減為1%，此舉大大降低了盟軍的損失，確保了軍用物資的有效供應(yīng)。美國軍方因此大贊：一名優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的作用，超過十個師的兵力！
在很多軍事院校，數(shù)學(xué)是一門重要課程，現(xiàn)代軍事領(lǐng)域離不開數(shù)學(xué)的分析和輔助，特別是運(yùn)籌學(xué)、微積分、概率統(tǒng)計等應(yīng)用都十分廣泛。教師在教學(xué)中可多選用以往戰(zhàn)爭中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和思想方法來解決實際問題的軍事案例。
三、數(shù)學(xué)模型在司法領(lǐng)域中應(yīng)用的教學(xué)研究
“司法”在一般人看來是與數(shù)學(xué)沒有太大關(guān)系的領(lǐng)域，但在司法界，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用已經(jīng)在案件偵破和司法鑒定過程中應(yīng)用非常廣泛，而且起到了至關(guān)重要的作用。
案例3：【刑事偵查中死亡時間的鑒定】牛頓冷卻定律指出：物體在空氣中冷卻的速度與物體溫度和空氣溫度之差成正比，現(xiàn)將牛頓冷卻定律應(yīng)用于刑事偵查中死亡時間的鑒定。在死者被謀殺后，尸體的溫度將按照牛頓冷卻定律從初始體溫的37℃逐漸開始下降。
�。�1）假定所處環(huán)境中空氣的溫度為20℃不變，若兩小時后尸體的溫度降為35℃，試求尸體的溫度H對于時間t的變化規(guī)律。
（2）若尸體在十六點整被發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時溫度是30℃，試推算受害人被殺應(yīng)發(fā)生在幾點？
數(shù)學(xué)模型：常微分方程模型：解設(shè)尸體的溫度為H（t）（t 從被殺時計），根據(jù)題意，尸體的冷卻速度：dH/dt與尸體溫度H和空氣溫度之差成正比。即：dH/dt=k（H-20），其中k是非零常數(shù)，初始條件為H（0）=37。對方程分離變量得：，兩端積分得：ln（H-20）=kt+C1，求得方程通解為：H=20+Cekt（其中C=eC1）。
將初始條件H（0）=37代入通解，得C=17，因此滿足條件的特解為H=20+17ekt。為確定k，根據(jù)兩小時后尸體溫度為35℃這一條件，代入有：35=20+17e2k，求得k≈-0.063，于是尸體的溫度函數(shù)為：H=20+17e－0.063t。將H=30代入，則30=20+17e-0.063t，解得t≈8.4（h）。于是可以判定謀殺發(fā)生在尸體被發(fā)現(xiàn)時16點前的8.4小時，即在上午7點36分發(fā)生的。應(yīng)用常微分方程模型，準(zhǔn)確求出案發(fā)時間。
常微分方程模型可以解決和變化率相關(guān)的很多問題，是一種應(yīng)用十分廣泛的數(shù)學(xué)模型，教師在講授微分方程這部分章節(jié)時，不僅要讓學(xué)生掌握如何求解各類方程，更要讓學(xué)生學(xué)會在具體問題的分析、解決過程中，把實際問題的描述抽象成數(shù)學(xué)語言，正確地建立數(shù)學(xué)模型，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中我們要引導(dǎo)學(xué)生重點掌握的思想方法。
四、數(shù)學(xué)模型在電學(xué)領(lǐng)域中應(yīng)用的教學(xué)研究
數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活。電學(xué)和數(shù)學(xué)的關(guān)系更是密不可分。三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、向量、微積分、常微分方程、拉氏變換等數(shù)學(xué)工具都在電學(xué)里有著廣泛應(yīng)用。其中，微分模型是在電學(xué)中求特定物理量的最值時最有效的工具。
案例4：【最大輸出功率】設(shè)在有一個負(fù)載電阻的閉合電路中，電源電動勢為E，內(nèi)阻為r（E，r均為常量），問負(fù)載電阻R多大時，輸出功率P最大？
數(shù)學(xué)模型：微分模型：解消耗在電阻R上的功率為P=I2R，I為回路中的電流，由閉合電路歐姆定律知
電學(xué)領(lǐng)域是對數(shù)學(xué)知識需求較高的領(lǐng)域，數(shù)學(xué)在這類專業(yè)中的應(yīng)用無處不在，學(xué)生必須具備良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，掌握常用數(shù)學(xué)思想方法，才能更好地學(xué)習(xí)專業(yè)知識。作為給該專業(yè)授課的數(shù)學(xué)教師，不僅要具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)功底，更要學(xué)習(xí)和掌握一些電學(xué)領(lǐng)域的相關(guān)專業(yè)知識。只有成為雙師型的數(shù)學(xué)教師才不會出現(xiàn)“重理論輕應(yīng)用、不能完全滿足專業(yè)需求”的情況。
由上述實例可以看出，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)建模思想，學(xué)會數(shù)學(xué)建模方法并應(yīng)用于專業(yè)實踐中，是今后教學(xué)改革的重點方向。當(dāng)代高職生，在學(xué)習(xí)了多門數(shù)學(xué)課程后，要善于將數(shù)學(xué)理論與專業(yè)實踐和生活實際緊密結(jié)合，發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)，在實踐中學(xué)會建立數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)創(chuàng)新思維，全面提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。
參考文獻(xiàn)：
[1]任曉燕，王岳。 工程應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].北京師范大學(xué)出版社，2012.
[2]李艷。數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的相關(guān)應(yīng)用分析[J].商業(yè)時代，2012，（6 ）。
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