下學(xué)期 4.10 正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)1

4.10 正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)

第一課時

（一）教學(xué)具準備

　　直尺、投影儀．

（二）教學(xué)目標

　　1．會用“正切線”和“單移法”作函數(shù) 的簡圖．

　　2．掌握正切函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用．

（三）教學(xué)過程

1．設(shè)置情境

　　正切函數(shù)是區(qū)別于正弦函數(shù)的又一三角函數(shù)，它與正弦函數(shù)的最大區(qū)別是定義域的不連續(xù)性，為了更好研究其性質(zhì)，我們首先討論 的作圖．

2．探索研究

　　師：請同學(xué)們回憶一下，我們是怎樣利用單位圓中的正弦線作出 圖像的．

　　生：在單位圓上取終邊為 （弧度）的角，作出其正弦線 ，設(shè) ，在直角坐標系下作點 ，則點 即為 圖像上一點．

　　師：這位同學(xué)講得非常好，本節(jié)課我們也將利用單位圓中的正切線來繪制 圖像．

　�。�1）用正切線作正切函數(shù)圖像

　　師：首先我們分析一下正切函數(shù) 是否為周期函數(shù)？

　　生：∵

　　　　∴ 是周期函數(shù)， 是它的一個周期．

　　師：對，我們還可以證明， 是它的最小正周期．類似正弦曲線的作法，我們先作正切函數(shù)在一個周期上的圖像，下面我們利用正切線畫出函數(shù) ， 的圖像．

　　作法如下：①作直角坐標系，并在直角坐標系 軸左側(cè)作單位圓．

　　　　　　�、诎褑挝粓A右半圓分成8等份，分別在單位圓中作出正切線．

　　　　　　�、壅覚M坐標（把 軸上 到 這一段分成8等份）．

　　　　　　�、苷铱v坐標，正切線平移．

　　　　　　�、葸B線．

　

圖1

　　根據(jù)正切函數(shù)的周期性，我們可以把上述圖像向左、右擴展，得到正切函數(shù) ， 且 （ ）的圖像，并把它叫做正切曲線（如圖1）．

圖2

　　（2）正切函數(shù)的性質(zhì)

　　請同學(xué)們結(jié)合正切函數(shù)圖像研究正切函數(shù)的性質(zhì)：定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性．

　�、俣�義域：

　�、谥涤�

　　由正切曲線可以看出，當(dāng) 小于 （ ）且無限親近于 時， 無限增大，即可以比任意給定的正數(shù)大，我們把這種情況記作 （讀作 趨向于正無窮大）；當(dāng) 大于 且無限接近于 ， 無限減小，即取負值且它的絕對值可以比任意給定的正數(shù)大，我們把這種情況記作 （讀作 趨向于負無窮大）．這就是說， 可以取任何實數(shù)值，但沒有最大值、最小值．

　　因此，正切函數(shù)的值域是實數(shù)集 ．

　　③周期性

　　正切函數(shù)是周期函數(shù)，周期是 ．

　�、芷媾夹�

　　∵ ，∴正切函數(shù)是奇函數(shù)，正切曲線關(guān)于原點 對稱．

　　⑤單調(diào)性

　　由正切曲線圖像可知：正切函數(shù)在開區(qū)間（ ， ）， 內(nèi)都是增函數(shù)．

　�。�3）例題分析

　　【例1】求函數(shù) 的定義域．

　　解：令 ，那么函數(shù) 的定義域是

　　由    ，可得  

　　所以函數(shù) 的定義域是

　　【例2】不通過求值，比較下列各組中兩個正切函數(shù)值的大�。�

　�。�1） 與 ；

　�。�2） 與 ．

　　解：（1）∵

　　又  ∵ ，在 上是增函數(shù)

　　∴

　�。�2）∵

　　　　　

　　又   ∵ ，函數(shù) ， 是增函數(shù)，

　　∴   即 ．

　　說明：比較兩個正切型實數(shù)的大小，關(guān)鍵是把相應(yīng)的角誘導(dǎo)到 的同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用 的單調(diào)遞增性來解決．

　　3．演練反饋（投影）

　�。�1）直線 （ 為常數(shù)）與正切曲線 （ 為常數(shù)且 ）相交的相鄰兩點間的距離是（      ）

　　A．　　B．　　C．　　D．與 值有關(guān)

　�。�2） 是 的（       ）

　　A．充分不必要條件　　B．必要不充分條件

　　C．充要條件　　　　　D．既不充分也不必要條件

　　（3）根據(jù)三角函數(shù)的圖像寫出下列不等式成立的角 集合

　�、佟　、�

參考答案：

　�。�1）C．注： 與 相鄰兩點之間距離即為周期長

　　（2）D．注：由 ，但 ，反之 ，但

　　（3）①

　　　　�、�

　　4．總結(jié)提煉

　�。�1） 的作圖是利用平移正切線得到的，當(dāng)我們獲得 上圖像后，再利用周期性把該段圖像向左右延伸、平移。

　�。�2） 性質(zhì)．

定義域

值域

周期

奇偶性

單調(diào)增區(qū)間

對稱中心

漸近線方程

奇函數(shù)

，

（四）板書設(shè)計

課題……

1．用正切線作正切函數(shù)圖像

2．正切函數(shù)的性質(zhì)

例1

例2

演練反饋

總結(jié)提煉

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