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由一道對數(shù)不等式所引發(fā)的討論
由一道對數(shù)不等式所引發(fā)的討論
楊福海
�。ǜ＝ㄊB門第六中學(xué)）
課堂教學(xué)改革一直是教育改革中備受關(guān)注的主題。一方面，課堂教學(xué)是我國中小學(xué)教育活動中最基本構(gòu)成部分，是中小學(xué)生在學(xué)校生活的主體部分，是中小學(xué)生素質(zhì)發(fā)展的主要渠道，其重要性不言而喻；另一方面，課堂教學(xué)改革涉及教育問題的方方面面，它不僅要改變教師根深蒂固的傳統(tǒng)教育觀念，同時還要改變教師習(xí)以為常的教學(xué)行為、教學(xué)方式乃至生活方式，其艱難性不言而喻。
著名的教育學(xué)家夸美紐斯在他的《大教學(xué)論》中有這樣的表述：“找出一種教育方法，使教師因此可以少教，而學(xué)生卻可以多學(xué)；使學(xué)校因此少些喧囂，厭惡和無益的勞苦，獨(dú)具閑暇、快樂及堅實(shí)的進(jìn)步�！边@種教育思想一直以來都是教育工作者的追求，特別是新課程實(shí)施以來，我們每一位教師都想能夠?qū)崿F(xiàn)“少教多學(xué)”。
我校從2013年起進(jìn)行“少教多學(xué)”教學(xué)模式的探索，強(qiáng)調(diào)不拘形式，重在過程。在學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性這節(jié)課中，我課前導(dǎo)學(xué)案布置了一道不等式：若logm2＞logn2＞0時，則m，n的大小關(guān)系是 。本想學(xué)生很快就能解決此問題，結(jié)果出乎意料地用了近20分鐘的時間討論這道題，也讓我再次深深體會了學(xué)習(xí)一定要從學(xué)生的角度來研究，而不能主觀地以定式思維出發(fā)。
少教多學(xué)提倡學(xué)生多交流，多展示。因此上課的第一件事就是讓學(xué)生把昨晚預(yù)習(xí)的作業(yè)進(jìn)行展示和交流。在展示預(yù)習(xí)作業(yè)的過程中，雪婷同學(xué)認(rèn)為通過作圖能得到m，n的大小關(guān)系，于是到黑板上畫了圖1這樣的圖形，然后說“根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，當(dāng)?shù)讛?shù)大于1時，底數(shù)越大，圖象越接近x軸，從而得到n＞m。”我們一般在學(xué)生展示完后要接受同學(xué)的提問和老師的點(diǎn)評，于是就有同學(xué)提出疑問：為什么圖象是單調(diào)遞增的？雪婷同學(xué)回答：Qlogm2＞0即logm2＞logm1∴y=logmx單調(diào)遞增。在回答的過程中，雪婷同學(xué)發(fā)現(xiàn)了自己所畫的圖象邊上的不應(yīng)該寫式子logm2，于是趕緊改為y=logmx和y=lognx。這告訴我們一個道理，交流使人進(jìn)步。雪婷同學(xué)話音剛落，又有同學(xué)提出能否借助直線y=1與圖象的交點(diǎn)，如圖2更能直觀地判斷n＞m，理由是logmm=lognn=1。
我肯定了這個同學(xué)的想法，請各小組交流兩種判斷方法的異同。一小組的同學(xué)總結(jié)說：兩個同學(xué)相同之處都是借助了對數(shù)函數(shù)的圖象；第二個同學(xué)的方法適用于任何一個對數(shù)函數(shù)的圖象比較底數(shù)的大小，更加直觀易理解，第一個同學(xué)掌握并運(yùn)用了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，就是要注意區(qū)分底數(shù)大于1還是小于1。到此，很多同學(xué)都以為問題已經(jīng)解決了�？捎钟幸唤M同學(xué)在交流過程中提出了另一個想法：用賦值法不是更簡單嗎？令m=2，n=4，滿足logm2＞logn2＞0，從而說明n＞m。同學(xué)們給予了掌聲。這時我提出了疑問，怎么保證沒有別的可能性呢？再交流。過后國薦同學(xué)補(bǔ)充賦值的依據(jù)，m，n＞1且m≠n，因此只有n＞m或n＜m兩種情況。再令m=4，n=2不成立，所以n＞m。我順著這位同學(xué)的發(fā)言再次提出思考，還有什么方法可以比較兩個對數(shù)的大小？再交流（我這里特意強(qiáng)調(diào)比較兩個對數(shù)的大�。�，很快有小組心領(lǐng)神會，子雋同學(xué)回答：化同底，看單調(diào)。于是。
顯然，這里利用了logm2·log2m=1的運(yùn)算性質(zhì)。但同時也提出了一個問題，
能否得到log2m＜log2n，通過交流，欣瑜同學(xué)回答，分母大的倒數(shù)反而小，另一組有同學(xué)提問，如果一個負(fù)數(shù)一個正數(shù)就不符合了。再一組同學(xué)補(bǔ)充說把
化為log2m＜log2n，兩邊同乘以log2m·log2n，只有同號時方向才不變，因此只要同號，分母大的就反而小。此時學(xué)生又收獲了除對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)外的另一個不等式的性質(zhì)，話音剛落，又有一組同學(xué)周臻說，也可以利用換底公式轉(zhuǎn)化為
，更容易看出lgm＜lgn，從而1＜m＜n，（此時又復(fù)習(xí)了一個運(yùn)算性質(zhì)）。我看看花了不少時間了，想要結(jié)束此話題了，不想又有一個女生說，她們組還有一種解法，設(shè)logm2=x1，logn2=x2，則。
又∵y=2x單調(diào)遞增
。真是出人意料。竟然也可利用對數(shù)式與指數(shù)式的互換，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解決問題。這與利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有異曲同工之效果。
看著同學(xué)們對問題討論興趣的高昂，我再次拋出一個新的問題：若將此題改為已知logm2＞logn2，比較m，n的大小？讓學(xué)生課后再做思考。
本節(jié)課本來的主題是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，卻沒想到一道復(fù)習(xí)引入題引起這么多的討論與解決方法。雖然本節(jié)課還留下一些問題沒有解決，但讓我感受到了少教多學(xué)的樂趣，感受到了同學(xué)們之間交流的重要意義，更感受到了不一樣的思維方式。教師在教學(xué)過程中要注意分層教學(xué)，對待不同的學(xué)生，采取不同的教學(xué)方法，使得學(xué)生的弱點(diǎn)和缺陷得到強(qiáng)化提高，從而保證了學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。
“少教多學(xué)”是對傳統(tǒng)教學(xué)的顛覆，是一種教學(xué)模式的創(chuàng)新。其實(shí)，“少教多學(xué)”也并非是一種全新的事物，在教學(xué)的某些環(huán)節(jié)上或不同的課型上，例如習(xí)題課和例題教學(xué)上，一般都采用少教多學(xué)的方法。但是，創(chuàng)新是對原有方法或關(guān)系的變革與調(diào)整，而不是徹底否決，因此創(chuàng)新一定要有所繼承，沒有繼承的創(chuàng)新好比無源之水，其生命力是不會長久的。從理論來看，新舊遷移是構(gòu)建知識的基本形式；從實(shí)際來看，學(xué)生的學(xué)習(xí)水平與知識狀況不是在同一水平線上的，而且知識內(nèi)化成認(rèn)知結(jié)構(gòu)需要一個不斷重復(fù)強(qiáng)化的過程，事實(shí)也正是這樣，因?yàn)槿鄙俦匾念A(yù)備與介入，一部分學(xué)生學(xué)習(xí)上困難重重，造成了學(xué)習(xí)上的退步。這才要求我們提倡“少教多學(xué)”，使學(xué)生理解并參與“少教多學(xué)”的探索，并落實(shí)到實(shí)處，在預(yù)習(xí)與展示和交流過程中發(fā)現(xiàn)問題、當(dāng)堂解決問題，同時鞏固所學(xué)知識，樹立自強(qiáng)、自立、自信的理念。
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